Difference between revisions of "ALPS 2 Tutorials:MC-08 Quantum Phase Transition/ja"

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{{Languages|ALPS_2_Tutorials:MC-08_Quantum_Phase_Transition}}
 
  
<!--
 
In this tutorial we will learn how to detect quantum critical points in a quantum spin model. The model we are going to look at is the square lattice quantum Heisenberg model with dimerization in the form of ladder arrangements. Ladders with coupling <math>J_0</math> on the legs and <math>J_1</math> on the rungs are coupled together with coupling strength <math>J_2</math>. The model is depicted in Fig. 1 of  [http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)], albeit with different notations. In this tutorial we will consider the case <math>J_0=J_1=1</math>, and vary the interladder coupling <math>J_2</math>. Even though there are no phase transitions at finite temperatures in 2D Heisenberg models (Mermin-Wagner Theorem), transitions between different ground-states can occur at <math>T=0</math>.
 
-->
 
 
このチュートリアルでは、量子スピンモデルでは量子臨界点を検出する方法を学習します。我々が見しようとしているモデルでは、ラダーの配置の形で二量体化した正方格子量子ハイゼンベルグモデルです。ラング上の脚と<math> J_1</math>を上<math> J_0</math>をカップリングしたはしごは、結合強度<math> J_2</math>を一緒に結合されている。モデルは、異なる表記はあるものの、[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]の図に描かれている。このチュートリアルでは、ケースを考慮します<math> J_0= J_1= 1</ math>は、と<math> J_2</ math>をカップリング間のはしごを変化させる。2Dハイゼンベルグモデルの有限温度(マーミン·ワグナーの定理)でない相転移が存在しないにもかかわらず、間の遷移は、さまざまな地上の状態が<math>T=0</math>で発生する可能性があります。
 
 
[[Image:CoupledLadder.jpg | ]]
 
 
= 相転移の特定 =
 
 
<!--First of all, we consider the two simple limits of decoupled ladders (<math>J_2=0</math>) and of the isotropic square lattice (<math>J_2=1</math>). The decoupled ladders have a ground-state with short-range correlations and exhibit a finite spin gap : this is a spin liquid phase. On the other hand, the square lattice displays long-range order with a finite staggered magnetization : this is an antiferromagnetic Néel phase.
 
 
A simple and illustrative way of probing these two different physics is by looking at the magnetic susceptibility <math>\chi</math>. Let us simulate an 8x8 system using the following set of temperatures in the two different cases. Plot and compare the magnetic susceptibility in both the decoupled  (<math>J_2=0</math>) and isotropic (<math>J_2=1</math>) situations. For decoupled ladders, the susceptibility exhibits an activated behaviour at low temperature due to the presence of the spin gap, whereas on the square lattice the susceptibility tends to a constant at low T. Please note that on a finite system, <math>\chi</math> will always eventually tend to zero at small enough temperature due to the presence of a finite-size gap - this is however not our topic of interest here.
 
You can run the simulation on the command line using the parameter file [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8a parm8a]:-->
 
 
まず第一に、我々は分離されたはしご2つの簡単な制限(<math>J_2=0</math>)考慮し、等方的な正方格子の(<math> J_2=1</math>)。分離されたはしごは、短距離相関と基底状態を持っており、有限のスピンギャップを示す:これはスピン液体相である。一方、正方格子では、有限のスタガード磁化と長距離秩序が表示されます。これは反強磁性ネール相である。これら二つの異なった物理学をプロービングのシンプルな例示的な方法は、磁化率で<math>\chi</math>をを見ることです。私たちは2つの異なるケース内の温度は、次のセットを使用して8x8のシステムをシミュレートしてみましょう。プロットとで帯磁率を比較し、両方の(<math> J_2=0</math>)と等方性(<math> J_2=1</math>)状況でデカップリングする必要があります。正方格子に感受性が低いT.で一定傾向にある一方、分離された梯子では、感受性は、スピンギャップの存在に起因する低い温度で活性化挙動を示す。注意してください、有限のシステムでは、<math>\chi</math>は常に最終的には有限サイズのギャップが存在するために十分に小さい温度でゼロにする傾向があります - これはここでしかし、興味のある私たちの話題ではありません。
 
パラメータ·ファイル[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8a parm8a]を使用してコマンドラインでシミュレーションを実行することができます。
 
 
parameter2xml parm8a
 
loop parm8a.in.xml
 
 
<!--or by using the python script  [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8a.py tutorial8a.py]-->
 
 
またはPythonスクリプトを使用して、[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8a.py tutorial8a.py]
 
 
import pyalps
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import pyalps.pyplot
 
import numpy as np
 
import pyalps.fit_wrapper as fw
 
from math import sqrt
 
 
#prepare the input parameters
 
parms = []
 
for j2 in [0.,1.]:
 
    for t in [0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]:
 
        parms.append(
 
            {
 
              'LATTICE'        : "coupled ladders",
 
              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
 
              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
 
              'local_S'        : 0.5,
 
              'ALGORITHM'      : 'loop',
 
              'SEED'          : 0,
 
              'T'              : t,
 
              'J0'            : 1 ,
 
              'J1'            : 1,
 
              'J2'            : j2,
 
              'THERMALIZATION' : 5000,
 
              'SWEEPS'        : 50000,
 
              'MODEL'          : "spin",
 
              'L'              : 8,
 
              'W'              : 4
 
            }
 
    )
 
 
#write the input file and run the simulation
 
input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
 
pyalps.runApplication('loop',input_file)
 
 
<!--For <math>J_2=0</math>, the value of the spin gap can be even further estimated by the finite-T behaviour of the magnetic susceptibility, using the following formula  (derived in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.50.13515 Phys. Rev. B 50, 13515 (1994)]) <math>\chi=A/\sqrt{T}\exp(-\Delta/T)</math> where <math>A</math> and the spin gap <math>\Delta</math> are fitting parameters. Fit the data for <math>T\leq1</math> and extract an estimate for the spin gap. How does it compare to estimates available in the litterature (such as in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.73.886 Phys. Rev. Lett. 73, 886 (1994)] or [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.77.1865 Phys. Rev. Lett. 77, 1865 (1996)]) ?
 
Here is an example how you can load perform this analysis in python:-->
 
 
<math>J_2=0</math>とするため、スピンギャップの値は、次の式([http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.50.13515 Phys. Rev. B 50, 13515 (1994)]で派生した)<math>\chi=A/\sqrt{T}\exp(-\Delta/T)</math>を使用して、帯磁率の有限-Tの動作によって、さらに推定することができる場所<math>A</math>とスピンギャップ<math>\Delta</math>はフィッティングパラメータである。<math>T\leq1</math>をするためのデータを近似し、スピンギャップの推定値を抽出します。それはどのように文献(例えば、[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.73.886 Phys. Rev. Lett. 73, 886 (1994)]や[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.77.1865 Phys. Rev. Lett. 77, 1865 (1996)]など)で利用可能な推定値と比べてどうですか?
 
ここでは、pythonでこの分析を実行読み込むことができます方法の例は、次のとおりです。
 
 
lines = []
 
for data in susc1:
 
    pars = [fw.Parameter(1), fw.Parameter(1)]
 
    data.y= data.y[data.x < 1]
 
    data.x= data.x[data.x < 1]
 
    f = lambda self, x, pars: (pars[0]()/np.sqrt(x))*np.exp(-pars[1]()/x)
 
    fw.fit(None, f, pars, [v.mean for v in data.y], data.x)
 
    prefactor = pars[0].get()
 
    gap = pars[1].get()
 
    print prefactor,gap
 
   
 
    lines += plt.plot(data.x, f(None, data.x, pars))
 
    lines[-1].set_label('$J_2=%.4s$: $\chi = \\frac{%.4s}{T}\exp(\\frac{-%.4s}{T})$' % (data.props['J2'], prefactor,gap))
 
 
= 相転移の場所 =
 
 
Having identified two different phases at <math>J_2=0</math> and <math>J_2=1</math>, there must be (at least) one quantum phase transition separating them. We scan the coupling range <math> J_2 \in [0.2,0.4] </math> for system sizes <math>L=8,10,12,16</math> and simulate the model at an inverse temperate <math>\beta=2.L</math> using the parameter-file [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8b parm8b] or the python script [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8b.py tutorial8b.py]:
 
 
<math>J_2=0</math>と<math>J_2=1</math>は少なくとも2つの異なる相を同定したので、(少なくとも)、それらを分離する1量子相転移が存在する必要があります。我々は、システムのサイズにカップリング範囲<math> J_2 \in [0.2,0.4] </math>をスキャン<math> L =8,10,12,16</math>は、逆温帯でモデルをシミュレートする<math>\beta=2.L</math>を使用してパラメータをファイル[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8b parm8b]またはPythonスクリプト[http://alps.comp-phys.org/~~Vstatic/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8b.py tutorial8b.py]
 
 
import pyalps
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import pyalps.pyplot
 
import numpy as np
 
 
#prepare the input parameters
 
parms = []
 
for l in [8,10,12,16]:
 
    for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
 
        parms.append(
 
            {
 
              'LATTICE'        : "coupled ladders",
 
              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
 
              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
 
              'local_S'        : 0.5,
 
              'ALGORITHM'      : 'loop',
 
              'SEED'          : 0,
 
              'BETA'          : 2*l,
 
              'J0'            : 1 ,
 
              'J1'            : 1,
 
              'J2'            : j2,
 
              'THERMALIZATION' : 5000,
 
              'SWEEPS'        : 50000,
 
              'MODEL'          : "spin",
 
              'L'              : l,
 
              'W'              : l/2
 
            }
 
    )
 
 
#write the input file and run the simulation
 
input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
 
pyalps.runApplication('loop',input_file)
 
 
 
== staggered磁化、バインダーキュムラント、スピン剛性==
 
 
<!--As in the classical Monte Carlo Tutorial we pinpoint the phase transition by an analysis of the Binder cumulant <math>U_4=< m_s^4> /<m_s^2>^2</math> of the staggered magnetization <math>m_s</math>, which is the order parameter of the antiferromagnetic phase. Since the crossing point of the Binder cumulant shows large deviations at small system sizes for the model studied in this tutorial, we will also consider the spin stiffness, which has smaller finite-size corrections ([http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]). This observable is given by <math>\rho_s = \frac{3}{4\beta} <w_x^2 + w_y^2></math> with winding numbers <math>w_x,w_y</math> of worldlines along the x- and y-direction and it scales as <math>\rho_s \propto L^{d-2-z}</math> at the quantum critical point, where d is the dimension of the system and z is the dynamical critical exponent. With <math>z=1</math> the quantity <math>\rho_sL</math> crosses at the critical point for different system system sizes <math>L</math>. Note that the fact that Binder cumulant and spin stiffness cross actually indicate that the phase transition is continuous, and not first order.-->
 
 
古典的なモンテカルロのチュートリアルのように我々は、反強磁性相の秩序パラメーターであるstaggered磁化<math>m_s</math>のバインダーキュムラント<math>U_4=<m_s^4> /<m_s^2>^2</math>の分析によって相転移を特定します。バインダーキュムラントの交点は、このチュートリアルで勉強したモデルのための小さなシステムのサイズに大きな偏差を示していますので、我々はまた、より小さい有限サイズ補正([http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)])を持つスピン剛性を考慮します。この観察は、巻番号、x軸とy軸方向に沿っworldlinesの<math>w_x,w_y</math>およびdは、システムの次元であり、zは、動的臨界指数である量子臨界点は、AT <math>\rho_s \propto L^{d-2-z}</math>として、それがスケールの<math>\rho_s = \frac{3}{4\beta} <w_x^2 + w_y^2></math>によって与えられます。<math>z=1</math>と<math>\rho_sL</math>の量は、異なるシステムのシステムサイズが<math>L</math>の臨界点で交差しています。バインダーキュムラントとスピン剛性が交差するという事実は、実際に相転移が連続して、注文が初めてではないことを示していることに注意してください。
 
 
<!--You can load and plot the observables by using the following lines:-->
 
あなたがロードし、次の行を使用して観測量をプロットすることができます。
 
 
data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(pattern='parm8a.task*.out.h5'),['Binder Ratio of Staggered Magnetization','Stiffness'])
 
binder=pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Binder Ratio of Staggered Magnetization', foreach=['L'])
 
stiffness =pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Stiffness', foreach=['L'])
 
 
for q in stiffness:
 
    q.y = q.y*q.props['L']
 
 
#make plot   
 
plt.figure()
 
pyalps.pyplot.plot(stiffness)
 
plt.xlabel(r'$J2$')
 
plt.ylabel(r'Stiffness $\rho_s L$')
 
plt.title('coupled ladders')
 
 
plt.figure()
 
pyalps.pyplot.plot(binder)
 
plt.xlabel(r'$J_2$')
 
plt.ylabel(r'$g(m_s)$')
 
plt.title('coupled ladders')
 
plt.show()
 
 
<!--What is your estimate of the quantum critical point?-->
 
量子臨界点のお見積もりは何ですか?
 
 
== 有限温度の影響 ==
 
 
<!--You may have noticed that the simulations are not performed at zero temperature, but at a finite value of inverse temperature <math>\beta=T^{-1}=2L</math>.
 
One needs to be sure that the physics (and in particular the estimate of the quantum critical point) is not affected by finite-temperature effects. A brute-force yet simple way of checking this is to decrease the temperature and perform the same simulations: if results are not affected, then the simulations are indeed converged. Change <math>\beta=2L</math> to <math>\beta=4L</math>, and check whether the stiffness and Binder cumulants are affected. Try now <math>\beta=L/4 </math> : are results different ?
 
 
Two remarks are important here : First, you may have noticed that the computational time scales approximatively linearly with <math>\beta</math>. In fact, given the path integral representation used, this means that the scaling of the loop algorithm used here is optimal (indeed, a finite-T QMC algorithm cannot scale faster than with the space-time volume <math>\beta.L^d</math>), even at a quantum phase transition.
 
 
Second, why did we choose inverse temperature <math>\beta</math> to be proportionnal to <math>L</math> ? In fact, this linear relation between time and space scales originates from the value <math>z=1</math> of the dynamical critical exponent for this quantum phase transition. You have implicitely checked it by looking at the crossings of <math>\rho_s.L</math>. In general, <math>z</math> does not need to be equal to unity, and the correct scaling of temperature with system size (in order to ensure ground-state sampling) has to be checked.
 
-->
 
 
あなたは、シミュレーションがゼロ温度で実施されていないことに気づいたが、逆温度<math>\beta=T^{-1}=2L</math>の有限値でている場合があります。一つは、物理学(および量子臨界点の特定の推定値)の有限温度の影響によって影響されていないことを確認する必要があります。
 
このチェックのブルートフォースまだ簡単な方法は、温度を下げると同じシミュレーションを実行することです。結果が影響を受けていない場合、そのシミュレーションは、実際に収束されています。変更<math>\beta=2L</math>とに<math>\beta=4L</math>は、剛性とバインダーキュムラントが影響を受けるかどうかを確認します。
 
試して今<math>\beta=L/4</math>は:結果が違うのか?二つの発言は、ここで重要なのは次のとおりです。まず、<math>\beta</math>でその計算時間スケールのおおよその直線的に気づいているかもしれません。実際にも、量子相で使用される経路積分の表現、ここで使用されるループアルゴリズムのスケーリングが(実際、有限T QMCアルゴリズムは時空間ボリューム<math>\beta.L^d</math>よりも速く拡大縮小することはできません)に最適であることを意味し、与えられた遷移します。
 
 
第二に、なぜ我々は<math>L</math>に比例する逆温度は、<math>\beta</math>を選んだのですか?実際には、時間と空間のスケールとの間のこの線形関係は、この量子相転移の動的臨界指数の値<math>z=1</math>に由来する。あなたは、暗黙的に<math>\ rho_s.L</ math>をの交差を見て、それをチェックしている。一般的には、<math>z</math>は団結と等しくなる必要があり、システムのサイズと温度(基底状態のサンプリングを確保するために)の正しいスケーリングがチェックする必要がありません。
 
 
= 臨界点の見積り =
 
 
<!--You have obtained a rough estimate of the quantum critical point <math>J_2^c</math>. As in the [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition classical case], extracting the critical exponents require more work and in particular a more precise determination of  <math>J_2^c</math>.
 
 
We will obtain one by considering larger system sizes on a finer grid of <math>J_2^c</math>, the parameters are speficied in [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8d parm8d]. Please note that these simulations will take quite some CPU time and we therefore we leave it to you as an exercise.
 
Plot again the Binder cumulant of the staggered magnetization <math>U_4</math> as well as the stiffness multiplied by system size <math> \rho_s.L</math> for different system sizes. The crossings of these curves should allow a more precise estimate of <math>J_2^c</math>.
 
To obtain the critical exponent <math>\nu</math> related to the divergence of the correlation length, it is useful to consider the scaling with system size of the ''derivative'' (with respect to  <math>J_2^c</math>) of these quantities, when taken precisely at <math>J_2^c</math>. These derivatives <math>\frac{dU_4}{d J_2}</math> and <math>L \frac{d\rho_s}{d J_2}</math> can be obtained in principle as a Monte Carlo measurement, however for this tutorial, it is sufficient to perform a numerical differentiation which is possible thanks to the fine grid in <math>J_2</math>.
 
 
Perform the numerical differentiations for the different system sizes for both quantities, and plot their values at <math>J_2^c</math> as a function of system size. Data should scale as a power law : <math>\frac{dU_4}{d J_2}(J_2^c) \propto L \frac{d\rho_s}{d J_2}(J_2^c) \propto L^{1/\nu}</math>. Which value of <math>\nu</math> do you obtain ?
 
 
'''Exercise''' : You can visually determine the quality of your estimate by performing data collapses, as in the [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition#Collapsing_data classical case]. The scaling forms for <math>U_4</math> and <math> \rho_s.L</math> are identical to the ones for the Binder cumulant in the classical phase transition example
 
 
Besides <math>z</math> and <math>\nu</math>, the last independent exponent <math>\eta</math> can be obtained in the following way. As in the classical case, the susceptibility at the critical point should scales as <math>\chi_s (J_2^c) \sim L^{2-\eta}</math>. Note that in this last expression one needs to consider the susceptibility associated to fluctuations of the order parameter : therefore the scaling with system size of the ''staggered susceptibility'' <math>\chi_s</math>, and not of the uniform susceptibility <math>\chi</math>, has to be performed here. Plot  <math>\chi_s</math> at <math>J_2^c</math> as a function of system size, which estimate of <math>\eta</math> do you obtain ?
 
 
The quantum phase transition studied in this tutorial belongs to the universality class of the phase transition at finite temperature of the 3d classical Heisenberg model. Compare your estimates of critical exponents <math>\nu</math> and <math>\eta</math> with the ones reported in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.65.144520 Phys. Rev. B 65, 144520 (2002)] for this universality class.-->
 
 
 
あなたは、<math>J_2^c</math>量子臨界点の大まかな見積もりを取得しています。[http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07​​_Phase_Transition古典的なケース]のように、臨界指数を抽出することにより、より多くの作業と<math>J_2^c</math>の特定の、より正確に決定する必要があります。我々は、<math>J_2^c</math>の細かいグリッドで大規模なシステムのサイズを考慮して1を取得し、パラメータは[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8d parm8d]で指定されています。
 
 
これらのシミュレーションはかなりのCPU時間がかかるだろうと我々は、したがって我々は演習としてあなたにそれを残すことに注意してください。再び<math>U_4</math>スタガード磁化と同様に別のシステムサイズについては、システムサイズ<math> \rho_s.L</math>を乗じた剛性のバインダーキュムラントをプロットします。 これらの曲線の交点は、<math>J_2^c</math>のより正確な推定値を許可する必要があります。相関長の発散に関連した臨界指数<math>\nu</math>を得るためには、 <math>J_2^c</math>で正確に撮影し、これらの量の''誘導体のシステムのサイズ''(<math>J_2^c</math>に関して)とスケーリングを考慮しておくと便利です。これらのデリバティブ<math>\frac{dU_4}{d J_2}</math>と<math>L \frac{d\rho_s}{d J_2}</math>はモンテカルロ測定として原則的に得ることができますしかし、このチュートリアルでは、<math>J_2</math>の微細グリッドのおかげで可能です。数値微分を実行するのに十分である。両方の量の異なるシステムサイズの数値微分を実行し、システム·サイズの関数として<math>J_2^c</math>にその値をプロットします。<math>\frac{dU_4}{d J_2}(J_2^c) \propto L \frac{d\rho_s}{d J_2}(J_2^c) \propto L^{1/\nu}</math>:データはべき乗則としてスケーリングします。あなたは、 <math>\nu</math>のどの値を入手できますか?
 
'''Exercise''':あなたが視覚的に[ [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition#Collapsing_data classical case]]のように、データの崩壊を実行して、推定値の品質を決定することができます。<math>U_4</math>と<math> \rho_s.L</math>のスケーリング形は、古典的な相転移例のバインダーキュムラントためのものと同じです。<math>z</math>と<math>\nu</math>のほかに、最後の独立した指数<math>\eta</math>は、次の方法で得ることができます。<math>\chi_s (J_2^c) \sim L^{2-\eta}</math>として古典的な場合のように、臨界点における感受性はすべきに比例します。この最後の式で1つの順序パラメータの変動に関連した感受性を考慮する必要があることに注意してください。したがって、''のシステムサイズの拡大縮小は'' <math>\chi_s</math>感受性をずらして、均一な感受性を<math>\chi</math>から、ここで実行する必要がありません。<math>\eta</math>の推定システムのサイズの関数として<math>J_2^c</math>に<math>\chi_s</math>をプロットするには、入手できますか?この普遍性クラスの[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.65.144520 Phys. Rev. B 65, 144520 (2002)]で報告されたものと臨界指数<math>\nu</math>と<math>\eta</math>の見積もりを比較します。
 
 
= 2番目の臨界点の推定 =
 
 
<!--This model not only undergoes one quantum phase transition - at higher values of <math>J_2</math> you will find a another quantum phase transition and we will repeat the same analysis for this parameter regime. Replace the line
 
 
for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
 
 
by
 
 
for j2 in [1.8,1.85,1.9,1.95,2.,2.05,2.1]:
 
 
and run the simulation and the plotting commands again, see [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8c.py tutorial8c.py]. Compare your results to the high-precision results presented in [http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)] .
 
-->
 
 
このモデルは、1量子相転移を起こすだけでなく、 - <math>J_2</math> の高い値では、別の量子相転移を見つけると我々は、このパラメータ領域で同じ分析を繰り返すことになります。
 
J2を[0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]から[1.8,1.85,1.9,1.95,2.,2.05,2.1]に置き換えます。
 
再度シミュレーションやプロットのコマンドを実行して、[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8c.py tutorial8c.py]参照してください。[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]で提示高精度の結果にあなたの結果を比較します。
 
 
= Vistrails での実行 =
 
 
Vistrailsでの実行は、[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.0.0/mc-08-quantum-phase-transition/mc-08-quantum-phase-transition.vt mc-08-quantum-phase-transition.vt]を参照してください。
 

Revision as of 10:45, 12 March 2012