Difference between revisions of "ALPS 2 Tutorials:MC-08 Quantum Phase Transition/ja"

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{{Languages|ALPS_2_Tutorials:MC-08_Quantum_Phase_Transition}}
  
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このチュートリアルでは、量子スピンモデルでの量子臨界点を検出する方法を学習します。ここで対象とするモデルは梯子状に二量体化した正方格子量子ハイゼンベルグモデルです。つまり、足に<math>J_0</math>の結合と横木に<math>J_1</math>結合を持つ梯子が<math>J_2</math>の強さで結合したものです。記号が少し異なりますが、[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]のFig.1を参照してください。このチュートリアルでは、<math>J_0=J_1=1</math>とし、梯子間結合<math>J_2</math>を変化させる場合を考えます。二次元のハイゼンベルグモデルでは有限温度で相転移が存在しない(Mermin-Wangerの定理)にもかかわらず、<math>T=0</math>では異なる基底状態間の相転移が起きえます。
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[[Image:CoupledLadder.jpg | ]]
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= 相の同定 =
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<!--First of all, we consider the two simple limits of decoupled ladders (<math>J_2=0</math>) and of the isotropic square lattice (<math>J_2=1</math>). The decoupled ladders have a ground-state with short-range correlations and exhibit a finite spin gap : this is a spin liquid phase. On the other hand, the square lattice displays long-range order with a finite staggered magnetization : this is an antiferromagnetic Néel phase.
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A simple and illustrative way of probing these two different physics is by looking at the magnetic susceptibility <math>\chi</math>. Let us simulate an 8x8 system using the following set of temperatures in the two different cases. Plot and compare the magnetic susceptibility in both the decoupled  (<math>J_2=0</math>) and isotropic (<math>J_2=1</math>) situations. For decoupled ladders, the susceptibility exhibits an activated behaviour at low temperature due to the presence of the spin gap, whereas on the square lattice the susceptibility tends to a constant at low T. Please note that on a finite system, <math>\chi</math> will always eventually tend to zero at small enough temperature due to the presence of a finite-size gap - this is however not our topic of interest here.
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You can run the simulation on the command line using the parameter file [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8a parm8a]:-->
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まず最初に、2つのシンプルな極限、分離している梯子(<math>J_2=0</math>)と等方的な正方格子(<math>J_2=1</math>)を考えます。分離した梯子は短距離相関をもつ基底状態を持っており、有限のスピンギャップを示します。これはスピン液体相です。一方、正方格子では、有限のスタッガード磁化をもつ長距離秩序が現れます。これは反強磁性ネール相です。
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このような異なった2つの相を区別するシンプルな方法は、帯磁率<math>\chi</math>を見ることです。この2つの異なったケースについて以下の温度を用いて8x8のシミュレーションをおこなってみましょう。梯子極限(<math> J_2=0</math>)と等方極限(<math> J_2=1</math>)との両方で帯磁率をプロットし、比較してください。分離した梯子では、スピンギャップの存在により低い温度で帯磁率が0から立ち上がる挙動を示します。しかし、正方格子では、帯磁率は低いTで有限にとどまります。有限系では、常に有限サイズ由来のスピンギャップが存在するため、<math>\chi</math>は小さいけれど有限のTでゼロになることに注意してください。これらのチュートリアルはファイル[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8a parm8a]で実行することができます。
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parameter2xml parm8a
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loop parm8a.in.xml
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<!--or by using the python script  [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8a.py tutorial8a.py]-->
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またはPythonスクリプトを使用して、[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8a.py tutorial8a.py]
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import pyalps
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import matplotlib.pyplot as plt
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import pyalps.pyplot
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import numpy as np
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import pyalps.fit_wrapper as fw
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from math import sqrt
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#prepare the input parameters
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parms = []
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for j2 in [0.,1.]:
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    for t in [0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]:
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        parms.append(
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            {
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              'LATTICE'        : "coupled ladders",
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              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
 +
              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
 +
              'local_S'        : 0.5,
 +
              'ALGORITHM'      : 'loop',
 +
              'SEED'          : 0,
 +
              'T'              : t,
 +
              'J0'            : 1 ,
 +
              'J1'            : 1,
 +
              'J2'            : j2,
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              'THERMALIZATION' : 5000,
 +
              'SWEEPS'        : 50000,
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              'MODEL'          : "spin",
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              'L'              : 8,
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              'W'              : 4
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            }
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    )
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#write the input file and run the simulation
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input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
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pyalps.runApplication('loop',input_file)
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<!--For <math>J_2=0</math>, the value of the spin gap can be even further estimated by the finite-T behaviour of the magnetic susceptibility, using the following formula  (derived in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.50.13515 Phys. Rev. B 50, 13515 (1994)]) <math>\chi=A/\sqrt{T}\exp(-\Delta/T)</math> where <math>A</math> and the spin gap <math>\Delta</math> are fitting parameters. Fit the data for <math>T\leq1</math> and extract an estimate for the spin gap. How does it compare to estimates available in the literature (such as in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.73.886 Phys. Rev. Lett. 73, 886 (1994)] or [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.77.1865 Phys. Rev. Lett. 77, 1865 (1996)]) ?
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Here is an example how you can load perform this analysis in python:-->
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<math>J_2=0</math>では、スピンギャップの値は、次の式([http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.50.13515 Phys. Rev. B 50, 13515 (1994)]の中で導出されます)<math>\chi=A/\sqrt{T}\exp(-\Delta/T)</math>を使用して、帯磁率の有限温度の振る舞いによって、推定することができます。<math>A</math>とスピンギャップ <math>\Delta</math>はフィッティングパラメータです。<math>T\leq1</math>の範囲でフィッティングを行い、スピンギャップの値を見積もってください。([http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.73.886 Phys. Rev. Lett. 73, 886 (1994)] or [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.77.1865 Phys. Rev. Lett. 77, 1865 (1996)])のような文献の値と比較してみてください。
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pythonでの解析のサンプルを示します。
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lines = []
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for data in susc1:
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    pars = [fw.Parameter(1), fw.Parameter(1)]
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    data.y= data.y[data.x < 1]
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    data.x= data.x[data.x < 1]
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    f = lambda self, x, pars: (pars[0]()/np.sqrt(x))*np.exp(-pars[1]()/x)
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    fw.fit(None, f, pars, [v.mean for v in data.y], data.x)
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    prefactor = pars[0].get()
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    gap = pars[1].get()
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    print prefactor,gap
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    lines += plt.plot(data.x, f(None, data.x, pars))
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    lines[-1].set_label('$J_2=%.4s$: $\chi = \\frac{%.4s}{T}\exp(\\frac{-%.4s}{T})$' % (data.props['J2'], prefactor,gap))
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= 相転移点を見つける =
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<!--Having identified two different phases at <math>J_2=0</math> and <math>J_2=1</math>, there must be (at least) one quantum phase transition separating them. We scan the coupling range <math> J_2 \in [0.2,0.4] </math> for system sizes <math>L=8,10,12,16</math> and simulate the model at an inverse temperate <math>\beta=2.L</math> using the parameter-file [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8b parm8b] or the python script [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8b.py tutorial8b.py]:
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-->
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<math>J_2=0</math>と<math>J_2=1</math>との2点が異なる相にあるとわかったならば、この2つの相を分離する転移点が少なくとも1つ存在する必要があります。結合定数<math> J_2 \in [0.2,0.4] </math>、システムサイズ<math>L=8,10,12,16</math>、逆温度<math>\beta=2.L</math>の条件でシミュレーションをおこないます。パラメータファイルは[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8b parm8b]です。また、pythonスクリプトは[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8b.py tutorial8b.py]です。
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import pyalps
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import matplotlib.pyplot as plt
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import pyalps.pyplot
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import numpy as np
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#prepare the input parameters
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parms = []
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for l in [8,10,12,16]:
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    for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
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        parms.append(
 +
            {
 +
              'LATTICE'        : "coupled ladders",
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              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
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              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
 +
              'local_S'        : 0.5,
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              'ALGORITHM'      : 'loop',
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              'SEED'          : 0,
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              'BETA'          : 2*l,
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              'J0'            : 1 ,
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              'J1'            : 1,
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              'J2'            : j2,
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              'THERMALIZATION' : 5000,
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              'SWEEPS'        : 50000,
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              'MODEL'          : "spin",
 +
              'L'              : l,
 +
              'W'              : l/2
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            }
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    )
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#write the input file and run the simulation
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input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
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pyalps.runApplication('loop',input_file)
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== スタッガード磁化、Binder キュムラント、スピン剛性==
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<!--As in the classical Monte Carlo Tutorial we pinpoint the phase transition by an analysis of the Binder cumulant <math>U_4=< m_s^4> /<m_s^2>^2</math> of the staggered magnetization <math>m_s</math>, which is the order parameter of the antiferromagnetic phase. Since the crossing point of the Binder cumulant shows large deviations at small system sizes for the model studied in this tutorial, we will also consider the spin stiffness, which has smaller finite-size corrections ([http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]). This observable is given by <math>\rho_s = \frac{3}{4\beta} <w_x^2 + w_y^2></math> with winding numbers <math>w_x,w_y</math> of worldlines along the x- and y-direction and it scales as <math>\rho_s \propto L^{d-2-z}</math> at the quantum critical point, where d is the dimension of the system and z is the dynamical critical exponent. With <math>z=1</math> the quantity <math>\rho_sL</math> crosses at the critical point for different system system sizes <math>L</math>. Note that the fact that Binder cumulant and spin stiffness cross actually indicate that the phase transition is continuous, and not first order.-->
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古典モンテカルロのチュートリアルのように、反強磁性相の秩序変数であるスタッガード磁化<math>m_s</math>のBinder キュムラント<math>U_4=<m_s^4> /<m_s^2>^2</math>の分析によって転移点を特定します。このチュートリアルでのモデルではBinder キュムラントの交点は大きな有限サイズ効果を示すので、有限サイズ効果のより小さいスピン剛性([http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)])を考えます。この物理量は<math>w_x,w_y</math>を世界線の空間x,y方向に沿った巻き付き数として、<math>\rho_s = \frac{3}{4\beta} <w_x^2 + w_y^2></math>で与えられます。この量は量子臨界点で<math>\rho_s \propto L^{d-2-z}</math>とスケールします。dは系の次元、zは動的臨界指数です。<math>z=1</math>の時、<math>\rho_sL</math>は、異なるシステムサイズに対し臨界点で交差しています。Binder キュムラントとスピン剛性が交差するという事実は、相転移が一次転移ではなく連続転移であることを示していることに注意してください。
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<!--You can load and plot the observables by using the following lines:-->
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次のスクリプトを使用して観測量の読み込み、プロットができます。
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data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(pattern='parm8a.task*.out.h5'),['Binder Ratio of Staggered Magnetization','Stiffness'])
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binder=pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Binder Ratio of Staggered Magnetization', foreach=['L'])
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stiffness =pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Stiffness', foreach=['L'])
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for q in stiffness:
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    q.y = q.y*q.props['L']
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#make plot   
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plt.figure()
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pyalps.pyplot.plot(stiffness)
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plt.xlabel(r'$J2$')
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plt.ylabel(r'Stiffness $\rho_s L$')
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plt.title('coupled ladders')
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plt.figure()
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pyalps.pyplot.plot(binder)
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plt.xlabel(r'$J_2$')
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plt.ylabel(r'$g(m_s)$')
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plt.title('coupled ladders')
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plt.show()
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<!--What is your estimate of the quantum critical point?-->
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量子臨界点はどこにありますか?
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== 有限温度効果 ==
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<!--You may have noticed that the simulations are not performed at zero temperature, but at a finite value of inverse temperature <math>\beta=T^{-1}=2L</math>.
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One needs to be sure that the physics (and in particular the estimate of the quantum critical point) is not affected by finite-temperature effects. A brute-force yet simple way of checking this is to decrease the temperature and perform the same simulations: if results are not affected, then the simulations are indeed converged. Change <math>\beta=2L</math> to <math>\beta=4L</math>, and check whether the stiffness and Binder cumulants are affected. Try now <math>\beta=L/4 </math> : are results different ?
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Two remarks are important here : First, you may have noticed that the computational time scales approximatively linearly with <math>\beta</math>. In fact, given the path integral representation used, this means that the scaling of the loop algorithm used here is optimal (indeed, a finite-T QMC algorithm cannot scale faster than with the space-time volume <math>\beta.L^d</math>), even at a quantum phase transition.
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Second, why did we choose inverse temperature <math>\beta</math> to be proportionnal to <math>L</math> ? In fact, this linear relation between time and space scales originates from the value <math>z=1</math> of the dynamical critical exponent for this quantum phase transition. You have implicitely checked it by looking at the crossings of <math>\rho_s.L</math>. In general, <math>z</math> does not need to be equal to unity, and the correct scaling of temperature with system size (in order to ensure ground-state sampling) has to be checked.
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-->
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このシミュレーションが温度ゼロでおこなわれず、逆温度<math>\beta=T^{-1}=2L</math>の有限値でおこなわれたことに気づきましたか?得られた結果(特に、量子臨界点の推定値)に、有限温度効果が現れていないことを確認する必要があります。このためのブルートフォースながら単純な確認方法は、温度を下げ、同じシミュレーションをおこなうことです。結果が影響を受けていなかったら、結果は同じ値に収束するでしょう。<math>\beta=2L</math> を <math>\beta=4L</math>と修正して、剛性とバインダーキュムラントが影響を受けるかどうか確認してみましょう。また<math>\beta=L/4 </math>でためしてみてください。結果はどうでしたか?
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重要なポイントが2つあります。まず、計算時間はおおよそ<math>\beta</math>に比例していることが分かると思います。このことは、経路積分表示を用いたとすると、使用されたループアルゴリズムのスケーリングが臨界点であっても最適(実際、有限温度QMCアルゴリズムは空間時間体積 <math>\beta.L^d</math>より早くスケールできません)であることを意味します。
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つぎに、なぜ<math>L</math>に比例する逆温度<math>\beta</math>を選んだのでしょうか?実際には、時間と空間のスケールとの間のこの線形関係は、この量子相転移の動的臨界指数の値<math>z=1</math>に由来します。<math>\rho_s.L</math>が交差することを見て、これをチェックしたことになっています。一般的には、<math>z</math>は必ずしも1とはならないため、(基底状態のサンプリングを行うためには)システムサイズと温度の正しいスケーリングをチェックする必要があります。
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= 臨界指数の見積り =
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<!--You have obtained a rough estimate of the quantum critical point <math>J_2^c</math>. As in the [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition classical case], extracting the critical exponents require more work and in particular a more precise determination of  <math>J_2^c</math>.-->
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量子臨界点<math>J_2^c</math>のおおまかな見積りをおこないました。[http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition 古典系]と同様に、臨界指数の見積りには、より多くの計算と、特に<math>J_2^c</math>のより正確な測定を必要とします。
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<!--We will obtain one by considering larger system sizes on a finer grid of <math>J_2^c</math>, the parameters are speficied in [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8d parm8d]. Please note that these simulations will take quite some CPU time and we therefore we leave it to you as an exercise.
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Plot again the Binder cumulant of the staggered magnetization <math>U_4</math> as well as the stiffness multiplied by system size <math> \rho_s.L</math> for different system sizes. The crossings of these curves should allow a more precise estimate of <math>J_2^c</math>.
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To obtain the critical exponent <math>\nu</math> related to the divergence of the correlation length, it is useful to consider the scaling with system size of the ''derivative'' (with respect to  <math>J_2^c</math>) of these quantities, when taken precisely at <math>J_2^c</math>. These derivatives <math>\frac{dU_4}{d J_2}</math> and <math>L \frac{d\rho_s}{d J_2}</math> can be obtained in principle as a Monte Carlo measurement, however for this tutorial, it is sufficient to perform a numerical differentiation which is possible thanks to the fine grid in <math>J_2</math>. -->
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これらを求めるために、より大きな系、より細かな<math>J_2^c</math>で計算をおこないます。パラメータファイルは[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/parm8d parm8d]です。この計算にはかなりの時間がかかるので、(チュートリアルとは別の)練習問題とします。スタッガード磁化のBinder キュムラント<math>U_4</math>や、スピン剛性にシステムサイズをかけた<math> \rho_s.L</math>を異なるシステムサイズについてプロットしてください。これらの曲線の交点は、<math>J_2^c</math>のより正確な見積りの助けとなるでしょう。相関長の臨界指数<math>\nu</math>を得るためには、<math>J_2^c</math>の正確な値を求め、これらの量の<math>J_2^c</math>に関する導関数の有限サイズスケーリングを考えることが有用です。これらの微分値<math>\frac{dU_4}{d J_2}</math>や<math>L \frac{d\rho_s}{d J_2}</math>は原理的にはモンテカルロの測定量として得られますが、このチュートリアルでは、細かい<math>J_2</math>で計算しているため、数値微分で事足ります。
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<!--Perform the numerical differentiations for the different system sizes for both quantities, and plot their values at <math>J_2^c</math> as a function of system size. Data should scale as a power law : <math>\frac{dU_4}{d J_2}(J_2^c) \propto L \frac{d\rho_s}{d J_2}(J_2^c) \propto L^{1/\nu}</math>. Which value of <math>\nu</math> do you obtain ? -->
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それぞれのシステムサイズに対してこの2つの量の数値微分をおこない、<math>J_2^c</math>でのそれらの値をシステムサイズの関数としてプロットしてみてください。データはべき乗則でスケール<math>\frac{dU_4}{d J_2}(J_2^c) \propto L \frac{d\rho_s}{d J_2}(J_2^c) \propto L^{1/\nu}</math>するはずです。
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<math>\nu</math> の値はどうなりましたか?
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<!--'''Exercise''' : You can visually determine the quality of your estimate by performing data collapses, as in the [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition#Collapsing_data classical case]. The scaling forms for <math>U_4</math> and <math> \rho_s.L</math> are identical to the ones for the Binder cumulant in the classical phase transition example-->
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-'''Exercise''' :[http://alps.comp-phys.org/mediawiki/index.php/ALPS_2_Tutorials:MC-07_Phase_Transition#Collapsing_data 古典系]のように、スケーリング関数の重なり具合を見ることで臨界点や臨界指数の推定値のよさを視覚的に判断できます。<math>U_4</math>と<math> \rho_s.L</math>のスケーリングの方法は、古典相転移のBinder キュムラントのときと同じです。
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<!--Besides <math>z</math> and <math>\nu</math>, the last independent exponent <math>\eta</math> can be obtained in the following way. As in the classical case, the susceptibility at the critical point should scales as <math>\chi_s (J_2^c) \sim L^{2-\eta}</math>. Note that in this last expression one needs to consider the susceptibility associated to fluctuations of the order parameter : therefore the scaling with system size of the ''staggered susceptibility'' <math>\chi_s</math>, and not of the uniform susceptibility <math>\chi</math>, has to be performed here. Plot  <math>\chi_s</math> at <math>J_2^c</math> as a function of system size, which estimate of <math>\eta</math> do you obtain ?-->
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<math>z</math>と<math>\nu</math>以外では、臨界指数<math>\eta</math>を次のように求めることが可能です。古典的と同じく、臨界点での帯磁率は<math>\chi_s (J_2^c) \sim L^{2-\eta}</math>のようにスケールします。この式において、秩序変数のゆらぎに関する帯磁率を考える必要があることに注意してください。すなわち、一様帯磁率<math>\chi</math>ではなく、''スタッガード帯磁率'' <math>\chi_s</math>の有限サイズスケーリングです。システムサイズの関数として、<math>J_2^c</math>での<math>\chi_s</math>をプロットしてください。<math>\eta</math>はどうなりますか?
 +
 +
<!--The quantum phase transition studied in this tutorial belongs to the universality class of the phase transition at finite temperature of the 3d classical Heisenberg model. Compare your estimates of critical exponents <math>\nu</math> and <math>\eta</math> with the ones reported in [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.65.144520 Phys. Rev. B 65, 144520 (2002)] for this universality class.-->
 +
このチュートリアルで調べた量子相転移は、3次元古典ハイゼンベルグモデルの有限温度での相転移のユニバーサリティクラスに属します。求めた臨界指数<math>\nu</math>と[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.65.144520 Phys. Rev. B 65, 144520 (2002)]とで述べられている値とを比較してみてください。
 +
 +
= 2番目の臨界点の推定 =
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<!--This model not only undergoes one quantum phase transition - at higher values of <math>J_2</math> you will find a another quantum phase transition and we will repeat the same analysis for this parameter regime. Replace the line
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for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
 +
 +
by
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for j2 in [1.8,1.85,1.9,1.95,2.,2.05,2.1]:
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and run the simulation and the plotting commands again, see [http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8c.py tutorial8c.py]. Compare your results to the high-precision results presented in [http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)] .
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-->
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このモデルは、量子相転移はひとつではなく、より高い<math>J_2</math>の値でも見つけることができ、そこでも同じ解析をおこなうことが出来ます。パラメータファイルの中の
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for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
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という行を、
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for j2 in [1.8,1.85,1.9,1.95,2.,2.05,2.1]:
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のように変更してシミュレーションを実行し、プロットしてみてください。pythonでの実行は[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/tutorial8c.py tutorial8c.py]を参照してください。[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v79/i1/e014410 Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)]の結果と得られた結果を比較してみてください。
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= Vistrailsでの実行 =
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Vistrailsでの実行は、[http://alps.comp-phys.org/static/tutorials2.2.0/mc-08-quantum-phase-transition/mc-08-quantum-phase-transition.vt mc-08-quantum-phase-transition.vt]を参照してください。

Latest revision as of 22:07, 28 September 2013


このチュートリアルでは、量子スピンモデルでの量子臨界点を検出する方法を学習します。ここで対象とするモデルは梯子状に二量体化した正方格子量子ハイゼンベルグモデルです。つまり、足にJ_0の結合と横木にJ_1結合を持つ梯子がJ_2の強さで結合したものです。記号が少し異なりますが、Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)のFig.1を参照してください。このチュートリアルでは、J_0=J_1=1とし、梯子間結合J_2を変化させる場合を考えます。二次元のハイゼンベルグモデルでは有限温度で相転移が存在しない(Mermin-Wangerの定理)にもかかわらず、T=0では異なる基底状態間の相転移が起きえます。

CoupledLadder.jpg

相の同定

まず最初に、2つのシンプルな極限、分離している梯子(J_2=0)と等方的な正方格子(J_2=1)を考えます。分離した梯子は短距離相関をもつ基底状態を持っており、有限のスピンギャップを示します。これはスピン液体相です。一方、正方格子では、有限のスタッガード磁化をもつ長距離秩序が現れます。これは反強磁性ネール相です。 このような異なった2つの相を区別するシンプルな方法は、帯磁率\chiを見ることです。この2つの異なったケースについて以下の温度を用いて8x8のシミュレーションをおこなってみましょう。梯子極限( J_2=0)と等方極限( J_2=1)との両方で帯磁率をプロットし、比較してください。分離した梯子では、スピンギャップの存在により低い温度で帯磁率が0から立ち上がる挙動を示します。しかし、正方格子では、帯磁率は低いTで有限にとどまります。有限系では、常に有限サイズ由来のスピンギャップが存在するため、\chiは小さいけれど有限のTでゼロになることに注意してください。これらのチュートリアルはファイルparm8aで実行することができます。

parameter2xml parm8a
loop parm8a.in.xml


またはPythonスクリプトを使用して、tutorial8a.py

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.pyplot
import numpy as np
import pyalps.fit_wrapper as fw
from math import sqrt

#prepare the input parameters
parms = []
for j2 in [0.,1.]:
    for t in [0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]:
        parms.append(
            { 
              'LATTICE'        : "coupled ladders", 
              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
              'local_S'        : 0.5,
              'ALGORITHM'      : 'loop',
              'SEED'           : 0,
              'T'              : t,
              'J0'             : 1 ,
              'J1'             : 1,
              'J2'             : j2,
              'THERMALIZATION' : 5000,
              'SWEEPS'         : 50000, 
              'MODEL'          : "spin",
              'L'              : 8,
              'W'              : 4
            }
    )

#write the input file and run the simulation
input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
pyalps.runApplication('loop',input_file) 


J_2=0では、スピンギャップの値は、次の式(Phys. Rev. B 50, 13515 (1994)の中で導出されます)\chi=A/\sqrt{T}\exp(-\Delta/T)を使用して、帯磁率の有限温度の振る舞いによって、推定することができます。Aとスピンギャップ \Deltaはフィッティングパラメータです。T\leq1の範囲でフィッティングを行い、スピンギャップの値を見積もってください。(Phys. Rev. Lett. 73, 886 (1994) or Phys. Rev. Lett. 77, 1865 (1996))のような文献の値と比較してみてください。 pythonでの解析のサンプルを示します。


lines = []
for data in susc1:
    pars = [fw.Parameter(1), fw.Parameter(1)]
    data.y= data.y[data.x < 1]
    data.x= data.x[data.x < 1]
    f = lambda self, x, pars: (pars[0]()/np.sqrt(x))*np.exp(-pars[1]()/x)
    fw.fit(None, f, pars, [v.mean for v in data.y], data.x)
    prefactor = pars[0].get()
    gap = pars[1].get()
    print prefactor,gap
    
    lines += plt.plot(data.x, f(None, data.x, pars))
    lines[-1].set_label('$J_2=%.4s$: $\chi = \\frac{%.4s}{T}\exp(\\frac{-%.4s}{T})$' % (data.props['J2'], prefactor,gap))

相転移点を見つける

J_2=0J_2=1との2点が異なる相にあるとわかったならば、この2つの相を分離する転移点が少なくとも1つ存在する必要があります。結合定数 J_2 \in [0.2,0.4] 、システムサイズL=8,10,12,16、逆温度\beta=2.Lの条件でシミュレーションをおこないます。パラメータファイルはparm8bです。また、pythonスクリプトはtutorial8b.pyです。

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.pyplot
import numpy as np

#prepare the input parameters
parms = []
for l in [8,10,12,16]:
    for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:
        parms.append(
            { 
              'LATTICE'        : "coupled ladders", 
              'LATTICE_LIBRARY': 'lattices.xml',
              'MODEL_LIBRARY'  : 'models.xml',
              'local_S'        : 0.5,
              'ALGORITHM'      : 'loop',
              'SEED'           : 0,
              'BETA'           : 2*l,
              'J0'             : 1 ,
              'J1'             : 1,
              'J2'             : j2,
              'THERMALIZATION' : 5000,
              'SWEEPS'         : 50000, 
              'MODEL'          : "spin",
              'L'              : l,
              'W'              : l/2
            }
    )

#write the input file and run the simulation
input_file = pyalps.writeInputFiles('parm8a',parms)
pyalps.runApplication('loop',input_file)


スタッガード磁化、Binder キュムラント、スピン剛性

古典モンテカルロのチュートリアルのように、反強磁性相の秩序変数であるスタッガード磁化m_sのBinder キュムラントU_4=<m_s^4> /<m_s^2>^2の分析によって転移点を特定します。このチュートリアルでのモデルではBinder キュムラントの交点は大きな有限サイズ効果を示すので、有限サイズ効果のより小さいスピン剛性(Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009))を考えます。この物理量はw_x,w_yを世界線の空間x,y方向に沿った巻き付き数として、\rho_s = \frac{3}{4\beta} <w_x^2 + w_y^2>で与えられます。この量は量子臨界点で\rho_s \propto L^{d-2-z}とスケールします。dは系の次元、zは動的臨界指数です。z=1の時、\rho_sLは、異なるシステムサイズに対し臨界点で交差しています。Binder キュムラントとスピン剛性が交差するという事実は、相転移が一次転移ではなく連続転移であることを示していることに注意してください。

次のスクリプトを使用して観測量の読み込み、プロットができます。

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(pattern='parm8a.task*.out.h5'),['Binder Ratio of Staggered Magnetization','Stiffness'])
binder=pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Binder Ratio of Staggered Magnetization', foreach=['L'])
stiffness =pyalps.collectXY(data,x='J2',y='Stiffness', foreach=['L'])

for q in stiffness:
    q.y = q.y*q.props['L']

#make plot    
plt.figure()
pyalps.pyplot.plot(stiffness)
plt.xlabel(r'$J2$')
plt.ylabel(r'Stiffness $\rho_s L$')
plt.title('coupled ladders')

plt.figure()
pyalps.pyplot.plot(binder)
plt.xlabel(r'$J_2$')
plt.ylabel(r'$g(m_s)$')
plt.title('coupled ladders')
plt.show()

量子臨界点はどこにありますか?

有限温度効果

このシミュレーションが温度ゼロでおこなわれず、逆温度\beta=T^{-1}=2Lの有限値でおこなわれたことに気づきましたか?得られた結果(特に、量子臨界点の推定値)に、有限温度効果が現れていないことを確認する必要があります。このためのブルートフォースながら単純な確認方法は、温度を下げ、同じシミュレーションをおこなうことです。結果が影響を受けていなかったら、結果は同じ値に収束するでしょう。\beta=2L\beta=4Lと修正して、剛性とバインダーキュムラントが影響を受けるかどうか確認してみましょう。また\beta=L/4 でためしてみてください。結果はどうでしたか?

重要なポイントが2つあります。まず、計算時間はおおよそ\betaに比例していることが分かると思います。このことは、経路積分表示を用いたとすると、使用されたループアルゴリズムのスケーリングが臨界点であっても最適(実際、有限温度QMCアルゴリズムは空間時間体積 \beta.L^dより早くスケールできません)であることを意味します。

つぎに、なぜLに比例する逆温度\betaを選んだのでしょうか?実際には、時間と空間のスケールとの間のこの線形関係は、この量子相転移の動的臨界指数の値z=1に由来します。\rho_s.Lが交差することを見て、これをチェックしたことになっています。一般的には、zは必ずしも1とはならないため、(基底状態のサンプリングを行うためには)システムサイズと温度の正しいスケーリングをチェックする必要があります。

臨界指数の見積り

量子臨界点J_2^cのおおまかな見積りをおこないました。古典系と同様に、臨界指数の見積りには、より多くの計算と、特にJ_2^cのより正確な測定を必要とします。

これらを求めるために、より大きな系、より細かなJ_2^cで計算をおこないます。パラメータファイルはparm8dです。この計算にはかなりの時間がかかるので、(チュートリアルとは別の)練習問題とします。スタッガード磁化のBinder キュムラントU_4や、スピン剛性にシステムサイズをかけた \rho_s.Lを異なるシステムサイズについてプロットしてください。これらの曲線の交点は、J_2^cのより正確な見積りの助けとなるでしょう。相関長の臨界指数\nuを得るためには、J_2^cの正確な値を求め、これらの量のJ_2^cに関する導関数の有限サイズスケーリングを考えることが有用です。これらの微分値\frac{dU_4}{d J_2}L \frac{d\rho_s}{d J_2}は原理的にはモンテカルロの測定量として得られますが、このチュートリアルでは、細かいJ_2で計算しているため、数値微分で事足ります。

それぞれのシステムサイズに対してこの2つの量の数値微分をおこない、J_2^cでのそれらの値をシステムサイズの関数としてプロットしてみてください。データはべき乗則でスケール\frac{dU_4}{d J_2}(J_2^c) \propto L \frac{d\rho_s}{d J_2}(J_2^c) \propto L^{1/\nu}するはずです。 \nu の値はどうなりましたか?

-Exercise :古典系のように、スケーリング関数の重なり具合を見ることで臨界点や臨界指数の推定値のよさを視覚的に判断できます。U_4 \rho_s.Lのスケーリングの方法は、古典相転移のBinder キュムラントのときと同じです。

z\nu以外では、臨界指数\etaを次のように求めることが可能です。古典的と同じく、臨界点での帯磁率は\chi_s (J_2^c) \sim L^{2-\eta}のようにスケールします。この式において、秩序変数のゆらぎに関する帯磁率を考える必要があることに注意してください。すなわち、一様帯磁率\chiではなく、スタッガード帯磁率 \chi_sの有限サイズスケーリングです。システムサイズの関数として、J_2^cでの\chi_sをプロットしてください。\etaはどうなりますか?

このチュートリアルで調べた量子相転移は、3次元古典ハイゼンベルグモデルの有限温度での相転移のユニバーサリティクラスに属します。求めた臨界指数\nuPhys. Rev. B 65, 144520 (2002)とで述べられている値とを比較してみてください。

2番目の臨界点の推定

このモデルは、量子相転移はひとつではなく、より高いJ_2の値でも見つけることができ、そこでも同じ解析をおこなうことが出来ます。パラメータファイルの中の

for j2 in [0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]:

という行を、

for j2 in [1.8,1.85,1.9,1.95,2.,2.05,2.1]:

のように変更してシミュレーションを実行し、プロットしてみてください。pythonでの実行はtutorial8c.pyを参照してください。Wenzel and Janke, Phys. Rev. B 79, 014410 (2009)の結果と得られた結果を比較してみてください。

Vistrailsでの実行

Vistrailsでの実行は、mc-08-quantum-phase-transition.vtを参照してください。