位置に依存する結合

通常の ALPS の格子では、モデルの各結合（mu、t、J、h など）は 1 つの値しか持たず、すべてのサイト、または同じタイプのすべてのボンドで同じ値が使われます。しかし多くの問題では、場所によって変わる結合が必要になります。化学ポテンシャルの調和トラップや線形な傾き、勾配のある磁場、ランダムなポテンシャルなどです。ALPS はこれを 2 つの要素で扱います。

非均質格子：サイト項（またはボンド項）をサイトごと（またはボンドごと）に個別に評価するよう ALPS に指示します。
パラメータの式：そのサイトまたはボンドの座標 x、y、z、あるいは乱数を使って値を書きます。

モデル自体を変更する必要はありません。models.xml の組み込みモデルをそのまま使えます。

最初の例

次のパラメータファイルは、6 サイトの鎖上のハードコアボソンに線形ポテンシャル $\mu(x) = \mu_\text{left} - s\,x$ をかけます。

LATTICE="inhomogeneous chain lattice"
L=6
MODEL="hardcore boson"
t=1
mu_left=1
slope=0.4
mu="mu_left - slope*x"
T=1
THERMALIZATION=5000
SWEEPS=20000
MEASURE[Local Density]=1

いつもどおりに実行します。例えば

parameter2xml parm_tilt
dirloop_sse parm_tilt.in.xml

Local Density の測定結果では、密度が鎖の左端（ $x=0$ ）から右端（ $x=5$ ）に向かって減少します。

mu の値を引用符で囲んでいるのは、数ではなく式だからです。この式はサイトごとに 1 回評価され、そのとき x にはそのサイトの座標が入ります。式からは他のパラメータ（ここでは mu_left と slope）を参照できます。

補助パラメータの名前は慎重に選んでください。ほとんどの組み込みモデルは、mu0、t0、V0、J1 のようなタイプごとの結合も読み込みます（ハミルトニアンの記述の # ワイルドカードを参照）。これらの名前のパラメータは、該当するタイプのサイトまたはボンドで mu、t、V、J を黙って置き換えます。上の例で mu_left と slope の代わりに mu0 と V0 を使っていたら、mu0=1 がすべてのサイトで傾いた mu を上書きし、V0=0.4 が最近接斥力を有効にしてしまいます。エラーも警告も出ません。

非均質格子

<LATTICEGRAPH> が <INHOMOGENEOUS> 要素を含む格子は非均質格子です。格子ライブラリ lattices.xml には、すでに次の 4 つが含まれています。

`LATTICE`	パラメータ	非均質な部分
`inhomogeneous chain lattice`	`L`	サイト
`inhomogeneous square lattice`	`L`、`W`（デフォルト `L`）	サイト
`inhomogeneous simple cubic lattice`	`L`、`W`（デフォルト `L`）、`H`（デフォルト `W`）	サイト
`inhomogeneous anisotropic square lattice`	`L`、`W`（デフォルト `L`）	サイト

4 つとも開放境界で、位置に依存するのはサイト項だけです。

自分で定義した格子を非均質にするには、<UNITCELL> の後にこの要素を加えます。

<LATTICEGRAPH name = "inhomogeneous periodic chain lattice">
  <FINITELATTICE>
    <LATTICE ref="chain lattice"/>
    <EXTENT dimension="1" size="L"/>
    <BOUNDARY type="periodic"/>
  </FINITELATTICE>
  <UNITCELL ref="simple1d"/>
  <INHOMOGENEOUS><VERTEX/><EDGE/></INHOMOGENEOUS>
</LATTICEGRAPH>

<VERTEX/> はサイト項を、<EDGE/> はボンド項を位置に依存させます。どちらか一方だけでも、両方でも使えます。これらはすべてのサイトまたはすべてのボンドに適用され、type 属性で特定のタイプに限定することはできません。ボースグラスのページでは、同じ要素を使って正方格子に周期境界を与えています。

LATTICE_LIBRARY で指定したファイルは、組み込みの lattices.xml に追加されるのではなく、それを置き換えます。そのため、上の例のように chain lattice や simple1d を参照する定義では、それらの定義も同じファイルに入れる必要があります。いちばん簡単なのは、lattices.xml をコピーして、そのコピーに自分の格子を追加する方法です。printgraph（格子グラフの確認を参照）を使うと、結果のサイト、ボンド、座標を表示できます。

式の中の座標

非均質格子では、式の中で次の変数を使えます。

変数	サイト項の中	ボンド項の中
`x`	サイトの第 1 座標	ボンドの中点の第 1 座標
`y`	第 2 座標（2 次元・3 次元格子）	ボンドの中点の第 2 座標
`z`	第 3 座標（3 次元格子）	ボンドの中点の第 3 座標

座標は、その格子に対して printgraph が出力するものと同じです。鎖、正方格子、単純立方格子では整数の単位胞の位置で、第 1 方向に 0 から L-1 までの値をとります。したがって、L $\times$ L 正方格子の中心に置いたトラップは次のように書けます。

LATTICE="inhomogeneous square lattice"
L=10
mu="4 - 0.2*((x-(L-1)/2)^2 + (y-(L-1)/2)^2)"

ボンド項ではボンドの中点が使われます。鎖の上で $x=2$ と $x=3$ のサイトを結ぶボンドは x=2.5 となるので、格子に <EDGE/> を加えたうえで

J="1 + 0.2*x"

とすると、そのボンドの $J$ は $1.5$ になります。

同じ変数はモデルの定義の中でも使えます。例えば次の <HAMILTONIAN> は傾きをモデルに組み込んでいるので、パラメータファイルでは mu と slope を設定するだけで済みます。

<HAMILTONIAN name="tilted hardcore boson">
  <PARAMETER name="mu" default="0"/>
  <PARAMETER name="slope" default="0"/>
  <PARAMETER name="t" default="1"/>
  <BASIS ref="hardcore boson"/>
  <SITETERM site="i">-(mu - slope*x)*n(i)</SITETERM>
  <BONDTERM source="i" target="j">-t*(bdag(i)*b(j)+bdag(j)*b(i))</BONDTERM>
</HAMILTONIAN>

LATTICE_LIBRARY と同様に、MODEL_LIBRARY で指定したファイルは組み込みの models.xml を置き換えるので、新しいハミルトニアンは models.xml のコピーに追加してください。

よくあるエラーは次の 2 つです。

<INHOMOGENEOUS> のない格子では座標が定義されておらず、プログラムは Cannot evaluate expression ... に続けて座標を使った式を出力して停止します。
非均質格子では x、y、z は予約されています。そのどれかをパラメータとして定義すると、プログラムは x, y or z is predefined as parameter and used as coordinate を出力して停止します。

関数と演算子

式では +、-、*、/、^（べき乗）と括弧、定数 Pi（PI や pi とも書けます）、および次の関数を使えます。

関数	意味
`sqrt(a)`、`abs(a)`	平方根、絶対値
`exp(a)`、`log(a)`	指数関数、自然対数
`sin(a)`、`cos(a)`、`tan(a)`	三角関数（ラジアン）
`asin(a)`、`acos(a)`、`atan(a)`	逆三角関数
`atan2(y, x)`	点 $(x, y)$ の偏角
`random()`	$[0, 1)$ の一様乱数
`gaussian_random()`	平均 0、標準偏差 1 の正規乱数
`gaussian_random(m, s)`	平均 `m`、標準偏差 `s` の正規乱数
`integer_random(n)`	0 から `n-1` までのランダムな整数

normal_random は gaussian_random の別名です。

ランダムな乱れ

非均質格子では、乱数関数はサイトごと（またはボンドごと）に個別に評価されます。したがって

mu="delta*(2*random() - 1)"

とすると、各サイトが -delta から delta の間に一様に分布する独自の化学ポテンシャルを持ちます。

これらの乱数は専用の乱数生成器から作られ、そのシードは DISORDERSEED（デフォルト 0）です。このシードは、モンテカルロ更新のシード SEED とは独立しています。そのため、DISORDERSEED が同じ実行は、SEED が違っていても同じ乱れを見ます。乱れについて平均をとるには、各実現の DISORDERSEED を { } ブロックで指定します。すると各実現が別々のタスクになります。

{ DISORDERSEED = 34275; }
{ DISORDERSEED = 49802; }
{ DISORDERSEED = 82529; }

その後、各タスクの結果を平均します。完全な例はボースグラスのページにあります。

対応しているプログラム

位置に依存する結合は、厳密対角化のプログラム（sparsediag、fulldiag）、dmrg、および量子モンテカルロのプログラム（dirloop_sse、loop、worm）で使えます。光格子中のボソンのページでは、dirloop_sse を使って 3 次元トラップ中のボソンをシミュレーションしています。

`worm` にはグラフではなく格子が必要

格子ライブラリの GRAPH（単位胞を持たない、頂点と辺のリスト）は dirloop_sse や厳密対角化のプログラムでは使えますが、worm では使えません。worm は次のメッセージを出して停止します。

Cannot save a measurement of size 0.

1 つの三角形のような小さなクラスターで worm を実行するには、そのクラスターを開放境界の格子の単位胞として記述し、L=1 とします。lattices.xml の Kagome 単位胞は 3 サイトの三角形なので、

<LATTICEGRAPH name = "open kagome lattice">
  <FINITELATTICE>
    <LATTICE ref="triangular lattice"/>
    <PARAMETER name="W" default="L"/>
    <EXTENT dimension="1" size="L"/>
    <EXTENT dimension="2" size="W"/>
    <BOUNDARY type="open"/>
  </FINITELATTICE>
  <UNITCELL ref="Kagome"/>
</LATTICEGRAPH>

に LATTICE="open kagome lattice" と L=1 を組み合わせると、worm が受け付ける三角形になります。さらに <INHOMOGENEOUS><VERTEX/></INHOMOGENEOUS> を加えれば、結合も位置に依存させられます。

これらのパラメータが入るハミルトニアンの項についてはハミルトニアンの記述を、格子と単位胞の定義については格子の定義を、ALPS のプログラムに共通するその他のパラメータについては共通パラメータを参照してください。

ハミルトニアンの記述