クラスター更新

系の臨界温度 $T_c$ の近くでは、系は長距離相関を示し、臨界緩和（critical slowing down）のために局所更新の手法は非効率になります。シミュレーション中に局所更新の提案は常に棄却されるようになり、系は特定の状態配置に閉じ込められたようになります。クラスター更新アルゴリズムは、スピンの大きなクラスターを 1 ステップで反転させることでこの問題に対処し、系が配置空間をより効率的に探索できるようにします。

Wolff アルゴリズム

Wolff アルゴリズムは、イジングモデルにおける臨界緩和を克服するために設計されたクラスター更新法です。スピンの向きに基づいてスピンのクラスターを構築し、それらをまとめて反転させることで、臨界温度近傍での効率的なサンプリングを実現します。

Wolff アルゴリズムの主な手順：

1. 種スピンを選ぶ：

   • 格子から種スピン $s_i^z$ をランダムに選びます。

2. クラスターを構築する：

   • 種スピンの各隣接スピン $s_j^z$ について、$s_j^z = s_i^z$ であれば、確率 $$P_{\text{add}} = 1 - e^{-2 \beta J},$$ でクラスターに加えます。この確率は温度と相互作用の強さ $J$ に依存します。

3. クラスターを反転する：

   • クラスターが構築されたら、クラスター内のすべてのスピンを反転させます（すなわち、クラスター内のすべてのスピンについて $s_i^z \to -s_i^z$）。

4. 繰り返す：

   • 配置空間を適切にサンプリングするために、この過程を多数のモンテカルロステップにわたって繰り返します。

Wolff アルゴリズムの利点：

• 効率：Wolff アルゴリズムは、スピンの大きなクラスターを同時に反転させることで、臨界緩和を大幅に軽減します。
• 詳細つり合い：このアルゴリズムは詳細つり合いを満たすため、系は正しい平衡分布に向かって時間発展します。
• 調整が不要：メトロポリス・ヘイスティングス法とは異なり、Wolff アルゴリズムではステップ幅のようなパラメータを調整する必要がありません。

Wang-Landau アルゴリズム

Wang-Landau アルゴリズムは、系の状態密度 $g(E)$ を直接推定するモンテカルロ法であり、広い範囲のエネルギーと温度にわたって熱力学量を計算することを可能にします。特に、複雑なエネルギーランドスケープを持つ系に有用です。

Wang-Landau アルゴリズムの主な手順：

1. 状態密度を初期化する：

   • 状態密度 $g(E)$ の大まかな推定値から始めます。典型的にはすべてのエネルギーに対して $1$ に設定します。

2. エネルギー空間でランダムウォークを行う：

   • モンテカルロ過程（例えばメトロポリス更新や Wolff 更新）を用いてエネルギー空間を探索します。次の確率で変化を採択します。 $$P_{E_1 \to E_2} = \min\left(1, \frac{g(E_1)}{g(E_2)}\right).$$

3. 状態密度を更新する：

   • 各変化の後に、状態密度を更新します。 $$g(E) \to g(E) \cdot f,$$ ここで $f > 1$ は修正因子です（初期値は $f = e$）。

4. 推定値を精密化する：

   • $g(E)$ が真の状態密度に収束するまで、修正因子 $f$ を徐々に小さくしながら（例えば $f \to \sqrt{f}$）この過程を繰り返します。

5. 熱力学量を計算する：

   • $g(E)$ が分かれば、分配関数、自由エネルギー、比熱などの熱力学量を計算できます。

Wang-Landau アルゴリズムの利点：

• $g(E)$ の直接推定：このアルゴリズムは状態密度を直接計算する手段を提供し、広い温度範囲にわたる熱力学的性質の研究を可能にします。
• 効率：Wang-Landau アルゴリズムは、従来の手法では苦戦するような複雑なエネルギーランドスケープを持つ系に対して特に効果的です。
• 事前知識が不要：このアルゴリズムでは、系のエネルギー分布についての事前知識を必要としません。