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ALPS のモデル
ハバードモデル

ハバードモデル

はじめに

通常のバンド理論によれば、格子上をホッピングする電子は運動エネルギーを最小化するように単純に広がっていくはずです。しかし 2 つの電子が同じ原子軌道を占有しようとすると、両者はその間に働く完全な強さのクーロン反発も感じることになります。ハバードモデルは、通常の 1 粒子ホッピングに加えて、電子間相互作用のうちこの単一の本質的な部分——二重占有されたサイトに課されるエネルギーコスト UU——だけを保持しており、それによって格子上の相互作用する電子の最も単純なモデルとなっています。冷却原子や光格子の研究コミュニティでは、これはしばしばフェルミ・ハバードモデルと呼ばれます。これは、ボソン版であるボーズ・ハバードモデルと明確に区別するためで、両者はともに光格子中の超冷原子を用いて実験的に実現でき、違いは使われる原子の量子統計だけです。この単純さにもかかわらず（あるいはむしろそれゆえに）、このモデルは凝縮系物理学における最も重要な現象のいくつかを捉えています。モット金属-絶縁体転移、遍歴磁性、そしてそのドープされた低エネルギー極限においては、銅酸化物における高温超伝導の背後にあると考えられている物理の一部です。

このモデルは 1963 年に複数の研究グループによって独立に導入されましたが、そのうち John Hubbard の論文がこのモデルに名前を与えました。現代的なレビューとしては、モデルの解析的な側面については Arovas, Berg, Kivelson, and Raghu (2022) を、これを解くための数値的手法に特化したレビューとしては Qin, Schäfer, Andergassen, Corboz, and Gull (2022) を参照してください。

スピン 1/2 のフェルミオンに対する単一バンドのハバードモデル（最も一般的に研究される場合）は、次のハミルトニアンで与えられます。

H=−t∑⟨i,j⟩,σ(ci,σ†cj,σ+h.c.)+U∑ini,↑ni,↓−μ∑i,σni,σ, H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \left( c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma} + \text{h.c.} \right) + U \sum_i n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow} - \mu \sum_{i,\sigma} n_{i,\sigma},

ここで、

  • ci,σ†c_{i,\sigma}^\dagger と ci,σc_{i,\sigma} はサイト ii でスピン σ\sigma（上向き ↑\uparrow または下向き ↓\downarrow）のフェルミオンを生成・消滅させる演算子であり、h.c. はエルミート共役を表します。
  • tt は最近接サイト ⟨i,j⟩\langle i,j \rangle 間のホッピング振幅です。
  • UU はオンサイト相互作用エネルギーで、あるサイトが二重に占有されているときにのみ課されます（U>0U>0：斥力、U<0U<0：引力）。
  • ni,σ=ci,σ†ci,σn_{i,\sigma} = c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} はサイト ii におけるスピン σ\sigma の数演算子です。
  • μ\mu は化学ポテンシャルで、電子密度（充填率）を制御します。

したがって各サイトは 0 個、1 個（スピン上向きまたは下向き）、あるいは 2 個（上向きと下向きが 1 個ずつ）の電子を持つことができます。これは ALPS のモデルライブラリに組み込まれている fermion Hubbard モデルそのものです——パラメータの一覧全体についてはモデルパラメータ用語集を参照してください。運動エネルギー項（非局在化した、バンド的な電子を好む）と相互作用項（局在化した、1 サイトに 1 個の電子を好む）との競合が——μ\mu によって設定される密度や温度とあいまって——このモデルの豊かな物理のほぼすべてを担っています。

モデルの物理

モット転移：相互作用がバンド理論に打ち勝つ理由。 通常のバンド理論は、半分満たされたバンド（平均してサイトあたり電子 1 個）は常に金属であると予言します。なぜなら、この場合フェルミ準位は部分的に占有されたバンドのちょうど真ん中に位置するからです。ハバードモデルが教えてくれる最も重要な教訓は、この予言が単純に間違っている場合があるということです。半充填において、UU がバンド幅（∼t\sim t）に比べて十分大きくなると、電子がすでに占有されている隣接サイトにホッピングするには大きなエネルギー UU が必要になるため、バンド理論がそうすべきでないと言っているにもかかわらず、電子は事実上動かなくなってしまいます。このバンド構造ではなく相互作用によって駆動される金属-絶縁体転移はモット転移と呼ばれ、その結果生じる、すべてのサイトに 1 個の電子が局在した絶縁状態はモット絶縁体と呼ばれます。

ハバードからハイゼンベルクへ：超交換。 しかしモット絶縁体は磁気的に不活性というわけではありません。UU が大きいときには実際のホッピングは禁止されていますが、仮想的なホッピング——電子が隣接サイトへ一瞬だけホッピングして戻ってくる過程——は禁止されておらず、通常の 2 次摂動論により、これが基底状態のエネルギーを t2/Ut^2/U のオーダーで下げることが示されます。ここで重要なのは、パウリの排他原理により、隣接する 2 つの電子のスピンが反対向きである場合にのみ、この仮想的なホッピングが許されるという点です。スピンが同じ向きの場合、行き先のサイトは同じスピンの電子をもう 1 個受け入れることができないため、このホッピングは完全に禁止されます。この非対称性のため、真の基底状態は隣接するスピンが反平行に並ぶことを好み、半充填かつ大きな U/tU/t では、ハバードモデルの有効な低エネルギー記述は、まさに反強磁性のハイゼンベルクモデルそのものになります。交換結合は

J=4t2U J = \frac{4t^2}{U}

で与えられます。この機構は超交換と呼ばれ、高温銅酸化物超伝導体の母物質を含む、ほぼすべてのモット絶縁体における反強磁性の微視的起源です。

モット絶縁体のドーピング。 電子を追加または除去して半充填からずらす（「ドーピングする」）と、上記の単純なネール秩序の描像は崩れ、この分野で最も豊かで、かつ最も決着のついていない物理が展開されます。大きな UU では、ドープされたモデルは t-J モデルに帰着し、反強磁性、超伝導、そして（ストライプ秩序のような）さまざまな電荷・スピン秩序の間に生じる競合が、銅酸化物における高温超伝導を理解する鍵を握っていると広く信じられています——この見かけ上単純なハミルトニアンを 60 年にわたって研究してきたにもかかわらず、この問題はいまだに完全には解決されていません。

現象

  • モット金属-絶縁体転移：半充填では、系は小さな U/tU/t で金属的であり、大きな U/tU/t でモット絶縁体になります。両者の間には転移（有限温度ではクロスオーバー）があります。
  • 磁性：モット絶縁相では、超交換によって半充填で反強磁性秩序が生じます。半充填からずれた密度や他の密度では、強磁性やより複雑な磁気秩序も可能です。
  • 超伝導：引力相互作用（U<0U<0）の場合、モデルは直接的に電子対形成を好みます。物理的により一般的な斥力の場合（U>0U>0）では、モット絶縁体をドープすることで非従来型（フォノンを媒介としない）超伝導が生じると考えられています——これが、このモデルを銅酸化物と関連づけて研究する中心的な動機です。
  • ドーピング、ストライプ、非フェルミ液体的振る舞い：半充填からずれると、モデルは電荷・スピンのストライプ秩序、相分離、そしていくつかの領域では通常の金属のフェルミ液体的描像に当てはまらない振る舞いを示すことがあります。

手法

ALPS に限って言えば：

手法長所短所応用
ED —— sparsediag / fulldiag を参照小さな系に対して厳密な結果が得られる；多体スペクトル全体を捉えられるヒルベルト空間が 4N4^N（1 サイトあたり 4 状態）で増大するため、小さなクラスターに限られる小系のベンチマーク；対称性で分解されたスペクトル
DMRG —— 密度行列繰り込み群 を参照1 次元および準 1 次元（はしご）の幾何構造に対して非常に高精度真に 2 次元・3 次元の系には効率が落ちるハバード鎖・はしごの基底状態と低エネルギー特性
DMFT —— 動的平均場理論 を参照局所相関とモット転移を非摂動的に捉える；無限次元（例えばベーテ格子）では厳密非局所的（運動量依存の）相関やゆらぎを無視するモット転移；局所スペクトル関数；有限温度相図

ALPS の他のスピンモデルやボソンモデルとは異なり、ALPS には一般的なフェルミオン的ハバードモデルのための格子量子モンテカルロアプリケーションはありません。特殊な場合（例えば二部格子上の半充填、あるいは 1 次元）を除けば、悪名高いフェルミオンの符号問題によって、低温での直接的な格子 QMC は法外に高くつくため、ALPS には行列式・補助場 QMC アプリケーションが含まれていません。その代わり、ALPS の連続時間 QMC アルゴリズム（CT-HYB、CT-INT）は DMFT における不純物ソルバーとして使われています——これらのソルバーについての包括的なレビューは Gull, Millis, Lichtenstein, Rubtsov, Troyer, and Werner (2011) を参照してください——このため ALPS では、直接的な格子 QMC ではなく DMFT が、ハバードモデルに対する標準的な大規模手法となっています。

これらの手法、および ALPS には実装されていない他の多くの手法（補助場 QMC、幅の広い円柱上での DMRG、ダイアグラム量子モンテカルロなど）が、同じ、一見単純に見える 2 次元正方格子ハバードモデルに対してどのように比較されるかについては、Simons Collaboration のベンチマーク研究を参照してください。この研究では、最先端の数値的手法が互いに幅広く相互検証されています——このモデルについて何が信頼でき、何がまだそうでないのかを理解するための必読文献です。

ALPS の DMFT チュートリアルでは、一貫してハバードモデルが題材として使われています。

DMFT に加えて、ED-06: 完全対角化 では、対称性（運動量と粒子数）を利用して計算を扱いやすくしながら、小さな正方格子上のハバードモデルを追加の演習として扱っています。

ALPS の他のモデルの概要については ALPS のモデル を参照してください。

スピンレスフェルミオンモデルt-J モデル