アンダーソン不純物モデル

はじめに

この節でここまで扱ってきたモデル——ハバードモデル、t-J モデル、ハイゼンベルクモデル——はいずれも、相互作用するサイトからなる格子全体を記述するものでした。アンダーソン不純物モデルはこれらとは種類が異なります。これは、単一の相関した軌道——「不純物」——が、それ以外は相互作用のない伝導電子の連続的なバスに結合している系を記述します。これは量子不純物物理学の基礎モデルであり、また動的平均場理論を通じて、格子ハバードモデルの計算上の核心に位置するモデルでもあります。

このモデルは、P. W. Anderson (1961) によって、希薄磁性合金におけるある謎を説明するために導入されました。すなわち、非磁性の母体金属に溶け込んだ遷移金属不純物（Fe や Mn など）の一部は安定な局在磁気モーメントを形成するのに、他のものはそうならないのはなぜか、という問題です。Anderson の答えは、これ自体が強相関多体問題であり、不純物自身のクーロン反発と、周囲の伝導電子との混成との間の競合によって支配されているというものでした——これはまさに、格子ハバードモデルのモット物理を駆動しているのと同じ競合を、縮小した形で示したものです。

ハミルトニアンは 3 つの部分から成ります。

ここで、

• $d_\sigma^\dagger, d_\sigma$ は、不純物軌道におけるスピン $\sigma$ の電子を生成・消滅させる演算子であり、オンサイトエネルギー $\varepsilon_d$ と、そこを占有する逆スピン電子間のクーロン反発 $U$ を持ちます（ハバードモデルとまったく同じですが、今度は 1 サイトだけです）。
• $c_{k\sigma}^\dagger, c_{k\sigma}$ は、分散 $\varepsilon_k$ を持つバス状態 $k$ における相互作用のない伝導電子を生成・消滅させます。
• $V_k$ は、電子が不純物とバス状態 $k$ の間をホッピングできるようにする混成行列要素です。

不純物の物理にとって実際に意味を持つのは、バスパラメータのある一つの組み合わせだけです。それが混成関数 $\Delta(\omega) = \sum_k |V_k|^2/(\omega - \varepsilon_k)$ であり、これは特定の微視的なバスの実現形態に言及することなく、不純物がバスから「感じる」すべてを表現します。これがこのモデルを扱いやすくしている決定的な構造的事実であり、まさに動的平均場理論が、格子モデルを実効的な単一不純物モデルへと写像する際に自己無撞着に決定する対象でもあります。DMFT は格子ハバードモデルを、混成関数 $\Delta(\omega)$ を持つアンダーソン不純物モデルで置き換え、不純物の局所グリーン関数が元の格子問題の局所グリーン関数と一致するまで、この $\Delta(\omega)$ を調整し続けます。

モデルの物理

局在磁気モーメントはいつ形成されるか。 Anderson は 1961 年の原論文の中で、自己無撞着な平均場的な議論によってこの問いに答えました。$U = 0$ の場合、不純物準位は単にバスと混成し、幅 $\sim \pi \rho_0 |V|^2$（$\rho_0$ はバスの状態密度）の共鳴に広がります——好ましいスピンの向きはなく、モーメントも存在しません。$U$ を導入すると、不純物の二重占有やゼロ占有よりも（どちらのスピンであれ）単一占有の方が有利になり、$U$ が混成幅に比べて十分大きくなると、不純物は安定した単一占有の局在磁気モーメントに落ち着きます。すなわち、遍歴電子ガスの一部としてではなく、周囲の伝導電子と弱く結合した実効的なスピン 1/2 自由度としてふるまうようになります。

近藤効果：局在磁気モーメントの遮蔽。 自由な局在磁気モーメントは、$T=0$ に至るまで独立したキュリー則に従う常磁性不純物としてふるまうはずです。しかし実際にはそうなりません。特徴的な近藤温度 $T_K$ 以下では、周囲の伝導電子が不純物スピンを徐々に遮蔽し、両者は集団的な多体一重項基底状態へと結びつきます。これが近藤効果であり、これは真に非摂動的な現象です——$T_K$ は結合定数に指数関数的に依存し、$T_K \sim D\, e^{-1/(\rho_0 J)}$（$D$ はバスの帯域幅、$J$ は後述する実効的な交換結合）という形をとるため、相互作用に関するいかなる有限次の摂動論もこれを捉えることはできません。この効果は、それが理解されるよりも何十年も前に実験的に発見されていました。希薄磁性合金は、低温で（予想される減少ではなく）電気抵抗が不可解に増大することが古くから知られており、Kondo (1964) は、この抵抗極小が、不純物スピンと伝導電子の間の交換結合に関する 3 次摂動論から直接導かれることを示しました——この計算は $T\to 0$ で対数発散し、まさに摂動論そのものがそこで破綻し、新しい強結合の低温状態が引き継がなければならないことを正しく示唆しています。

アンダーソンから近藤へ。 局在磁気モーメント領域では、不純物上の電荷ゆらぎ（仮想的な二重占有や完全な空孔化）はエネルギー的に高く、これを消去することができます——ちょうどハバードモデルから二重占有を消去して t-J モデル が得られたのと同じです。これを実行する変換——シュリーファー・ウォルフ変換（Schrieffer and Wolff (1966)）——は、アンダーソンハミルトニアンを（単一不純物の）近藤モデル、すなわち局在モーメントと不純物サイトにおける伝導電子スピン密度との間の純粋なスピン交換相互作用 $H_K = J\, \mathbf{S}_{\text{imp}} \cdot \mathbf{s}(0)$ に変換します。ここで $J \sim V^2/U > 0$ は自動的に反強磁性的になります。良く形成された局在磁気モーメントが存在する限り、アンダーソンモデルと近藤モデルは同じ低エネルギー物理を記述します。アンダーソンモデルはより完全で微視的な出発点であり、近藤モデルは電荷ゆらぎがもはや重要でなくなった後のより単純な実効理論です。

近藤問題の厳密な解法。 $T_K$ は非摂動的で指数関数的に小さいエネルギースケールであるため、制御された近似を構築するのは困難であり、決定的な解は Wilson の数値くりこみ群（NRG）によって初めて得られました。これは、くりこみ群を真に非摂動的な量子多体問題に適用した最初の、そして最も有名な例の一つであり、系が高エネルギーにおける弱結合の局在磁気モーメントから、低エネルギーにおける完全に遮蔽された強結合のフェルミ液体へとどのように流れていくかを明示的に示しました。

単一不純物から格子へ。 それぞれが自身の伝導帯に結合し、互いには共有された伝導電子を介してのみ間接的に結合する、周期的なアンダーソン不純物の格子は、このモデルの自然な多不純物への拡張です。局在磁気モーメント領域では、すべてのサイトでシュリーファー・ウォルフ変換を行うことで、本節の他の場所ですでに説明した 近藤格子モデル にちょうど帰着します——これは重い電子系物質に関連するモデルであり、そこでは局在磁気モーメントの形成と近藤遮蔽の間の同じ競合が、単一の孤立したサイトではなく格子全体にわたってコヒーレントに展開されます。

現象

• 局在磁気モーメントの形成：不純物がそもそも安定な、対になっていないスピンを持つかどうか自体が、$U$ と混成幅の比によって制御される非自明な閾値現象です——これはまさに Anderson の 1961 年の論文が答えようとした中心的な問いです。
• 近藤効果と抵抗極小：$T_K$ 以下では、局在磁気モーメントが伝導電子によって徐々に遮蔽され、歴史的には希薄磁性合金における低温での異常な抵抗上昇として最初に観測されました。
• 普遍的な低エネルギーフェルミ液体：$T \ll T_K$ になると、不純物は完全に遮蔽され、系はモデルのどのような微視的実現に対しても同じ低エネルギー特性（例えばウィルソン比）を持つ、普遍的で強結合なフェルミ液体固定点へと流れていきます——これは強相関量子系における普遍性の際立って明快な例です。
• 混合原子価：不純物準位 $\varepsilon_d$ がフェルミ準位の深くではなく、その近くにある場合、不純物はよく定義された局在磁気モーメントに落ち着く代わりに、異なる電荷（原子価）状態の間でゆらぎます。これは近藤領域とは異なるものの、それに関連する物理を与えます。
• 重い電子系物理：不純物格子全体にわたるコヒーレントな近藤遮蔽（近藤格子モデル を参照）は、裸の電子質量の数百倍にも達する有効質量を持つ準粒子を生み出します。これが重い電子系化合物の特徴です。

手法

歴史的には、単一不純物近藤問題の決定的な解は Wilson の数値くりこみ群 によってもたらされましたが、これは ALPS には実装されていません。ALPS の内部では、ハバードモデル のページにある DMFT チュートリアル群は、この観点から見れば、すでにアンダーソン不純物モデルが実際に働く様子を巡るガイドツアーになっています。なぜなら、それらのチュートリアルはいずれも、DMFT の自己無撞着サイクルの内側のループとして、アンダーソン不純物問題を繰り返し解いているからです。

ALPS の他のモデルの概要については ALPS のモデル を参照してください。