t-J モデル

はじめに

t-J モデルは、ハバードモデルにおいて「二重占有には大きなエネルギー $U$ がかかる」という設定を、「二重占有をそもそも完全に禁止する」という設定に置き換えたときに残るモデルです。ハバードモデルのページで示したように、大きな $U$ の極限のハバードモデルを $t/U$ で展開すると、最低次で隣接スピン間の反強磁性的な超交換結合 $J = 4t^2/U$ が得られます。t-J モデルはこの超交換項を通常のホッピング項とともに保持しますが、今度は各サイトが電子を高々 1 個しか持てないヒルベルト空間に制限されます。これはドープされたモット絶縁体——モット絶縁体（ハバードモデルのページを参照）に少数の可動なホールや余分な電子を加えたもの——を記述する標準的な最小モデルであり、銅酸化物高温超伝導体の低エネルギー物理を記述するために広く用いられています。

二重占有が禁止されているため、各サイトは空であるか、上向きまたは下向きスピンの電子を 1 個だけ持つことができます——制限のないハバードモデルでの 4 状態ではなく、1 サイトあたり 3 状態です。ハミルトニアンは

で与えられます。ここで、

• $\tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger$ と $\tilde{c}_{i,\sigma}$ は通常のフェルミオン生成・消滅演算子ですが、二重占有を除外するように射影されています——あるホッピングがすでに占有されているサイトに 2 個目の電子を置くことになる場合、そのホッピングは単に許されません。
• $t$ は最近接サイト $\langle i,j \rangle$ 間のホッピング振幅です。
• $J$ は隣接スピン間の反強磁性交換結合であり、ハバードモデルのページで導入したのと同じ超交換結合です。したがって t-J モデルを大きな $U$ のハバードモデルの代替として用いる場合には常に $J = 4t^2/U$ となります。
• $\mathbf{S}_i$ はサイト $i$ におけるスピン演算子であり、$n_i = \sum_\sigma \tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger \tilde{c}_{i,\sigma}$ はサイトの占有数（0 または 1）です。
• $-n_in_j/4$ の項は、$\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$ の中に隠れている密度-密度部分をちょうど打ち消し、上記の 2 つの項が単占有の隣接サイトに対する超交換エネルギーを正しく再現するようにしています。

（ハバードモデルから完全に順を追って厳密に導出すると、同じ $t/U$ の次数で小さな 3 サイト相関ホッピング項も生じますが、これは慣例的に省略されます。上記のハミルトニアン——ホッピング項と超交換項——が、通常「t-J モデル」と呼ばれるものです。）ちょうど半充填のときには、電子がホッピングできる空きサイトが存在しないため運動エネルギー項は何もせず、モデルは厳密に反強磁性のハイゼンベルクモデルに帰着します。したがって、このモデルに特有の物理はすべて、少数のホール（あるいは余分な電子）がドープされたときに何が起こるかから生まれます。

この制限された 3 状態のヒルベルト空間そのものについては、サイト基底のページですでに示されている t-J モデルの例を参照してください。そこでは、ALPS 内でこれらの状態をラベル付けする 2 つの等価な方法が示されています。このモデルは、銅酸化物の有効な記述として、Anderson (1987) と Zhang and Rice (1988) によってそれぞれ独立に提案されました。前者はこれを共鳴原子価結合（RVB）物理と超伝導に結びつけ、後者は銅酸化物平面の電子構造から直接このモデルを導出しました（後述）。

モデルの物理

単一バンドはどこから来るのか：ザン・ライス一重項。 実際の銅酸化物超伝導体は単一バンド物質ではありません——その CuO$_2$ 面には銅の $3d$ 軌道と酸素の $2p$ 軌道の両方が関与しています。Zhang and Rice (1988) は、銅サイトを取り囲む酸素軌道にドープされたホールが、その銅のスピンと強く結びついて局所的なスピン一重項を作ることを示しました。この複合的な対象——ザン・ライス一重項——は、単一バンドの t-J モデルにおける 1 個のホールとまったく同じように、サイト間をホッピングし、隣接する銅のスピンと相互作用します。これが、複雑な多軌道系である銅酸化物を、上記の単純な単一バンドハミルトニアンで扱うことの微視的な正当化です。

反強磁性体中を運動するホール。 ドープされていない（半充填の）モデルのネール秩序をもつ基底状態に、1 個のホールをドープする場合を考えます。素朴には、自由なホールは通常の強束縛問題における空きサイトと同様に、$t$ 程度の帯域幅で運動するはずです。しかしホールがホッピングするたびに、電子を 1 個移動させ、その結果、その電子のスピンは周囲の反強磁性的な配列ともはや一致しなくなり、ホールの通った跡には向きの乱れたスピンの列が残されます——これは磁気的無秩序の「弦」であり、ホールが出発点から離れるにつれて、そのステップごとに $J$ に比例するエネルギーコストがかかります。このような弦状の配置を多数混ぜ合わせるか、あるいは交換項 $J$ を使って乱れたスピン背景を修復することによってのみ、ホールはある程度の可動性を取り戻すことができます。結果として、ホールは自由電子の値から大きくくりこまれた、$t$ ではなく $J$ 程度の実効的な帯域幅で伝播します——これは、強相関が準粒子の運動という最も単純な単一粒子的性質でさえ質的に変えてしまうことを示す、最も明快な例の一つです。

共鳴原子価結合と超伝導。 Anderson (1987) は、ドープされていない反強磁性体は、従来型のネール秩序状態としてではなく、共鳴原子価結合（RVB）状態——スピンを一重項ボンドに対にする多くの異なる方法の量子的重ね合わせ——として捉えるべきであると提案しました。そして、この RVB 液体にホールをドープすることで、一重項ボンドが可動なクーパー対になり得るため、フォノンをまったく必要とせずに超伝導が生じ得ると論じました。この着想と、それを検証するために用いられる変分（グッツヴィラー射影 BCS）波動関数は、t-J モデルを高温超伝導理論の探求と結びつける中心的な糸の一つであり続けています。

ハバードモデルとの関係。 t-J モデルがハバードモデルの良い有効的記述となるのは、まさに $U$ が $t$ に比べて大きく、ドーピング（半充填からずれたホール密度）が小さい場合です。t-J モデルは高エネルギーの二重占有ゆらぎを、エネルギー的に抑制するのではなく完全に切り捨てるため、制限されたヒルベルト空間はより小さくなり、いくつかの手法にとっては完全なハバードモデルよりも扱いやすくなります——ただし、その代償として、弱相互作用・小さな $U$ の領域へ連続的に戻ることはできなくなります。

現象

• 磁性：半充填では、モデルはまさに反強磁性ハイゼンベルクモデルであり、ハイゼンベルクモデルのページで論じたのと同じネール秩序とスピン波励起を持ちます。ドーピングはこの秩序を急速に抑制します。
• ホールの運動とスピンポーラロン：ドープされた個々のホールは、乱されたスピンの雲をまとって（上記参照）反強磁性的な背景の中を運動し、その可動性は $t$ ではなく $J$ によって決まります——これは銅酸化物物質における角度分解光電子分光（ARPES）によって直接調べられる現象です。
• 高温超伝導：RVB 的なドープされていない状態をドープすることが、非従来型の、スピンゆらぎを媒介とする超伝導対形成を駆動すると多くの研究者によって信じられており、これが t-J モデルを銅酸化物に対する代表的な最小モデルの一つにしています。
• 奇妙な金属的振る舞い／非フェルミ液体的振る舞い：ある範囲のドーピングと温度において、モデルは通常の金属のフェルミ液体的描像に当てはまらない輸送特性やスペクトル特性（例えば温度に線形に比例する抵抗率）を示すことがあります。
• 相分離：小さなドーピングと小さな $J/t$ では、周囲のスピン背景によって媒介されるホール間の実効的な引力により、ホールが一様に広がるよりも互いに集まる方がエネルギー的に有利になることがあり、ホールの多い領域とホールのない領域への相分離につながります。

手法

ハバードモデルと同様に、ALPS にはドープされた t-J モデルのための格子量子モンテカルロアプリケーションはありません。ホールが存在するとフェルミオンの符号問題はむしろさらに深刻になり、ALPS には行列式 QMC も変分モンテカルロ（VMC）アプリケーションも含まれていません。グッツヴィラー射影変分波動関数（Anderson の RVB のアイデアを数値的に検証する自然な方法）や、符号問題のないドープされていない極限あるいは特殊な充填率に限定した行列式 QMC は、より広い文献における標準的な道具ですが、ALPS には実装されていません。現時点で t-J モデルに特化した ALPS のチュートリアルはありません。サイト基底のページでは、その制限されたヒルベルト空間を ALPS のモデル XML 形式でどのように定義するかが示されており、ハバードモデルのページにある DMFT チュートリアル群は、ALPS でその親モデルである制約のないモデルを探求するための自然な出発点となります。

ALPS の他のモデルの概要については ALPS のモデル を参照してください。