横磁場イジングモデル

はじめに

**横磁場イジングモデル（TFIM）**は、古典的なイジングモデル——格子上でスピンの $z$ 成分を介して結合する——に、その軸に垂直な、すなわち $x$ 方向を向く磁場を加えたものです。このただ一つの追加によって、実質的には古典的なモデルが、真に量子力学的なモデルへと変わります。これにより横磁場イジングモデルは、量子磁性と量子相転移を研究するうえで最も単純かつ最も広く研究されているモデルの一つとなっています。

なぜ「普通の量子イジングモデル」は実は量子的ではないのか。 量子スピン演算子で書くと、縦方向（$z$ 方向）の結合のみを持つ「普通の」イジングモデル、

は量子力学的に見えますが、力学的な意味では実はそうではありません。$H_0$ のすべての項は $S^z$ 演算子だけから作られており、異なるサイトの $S^z$ 演算子どうしは常に交換する（可換である）ため、ハミルトニアンのどの項も他のすべての項と交換します。互いに交換する項の和は、経典スピン配置の基底で自動的に対角的になるので、$H_0$ の固有状態はまさに経典的なイジング配置そのものであり、固有エネルギーもまさに経典的なイジングエネルギーそのものです——配置間のトンネリングはなく、基底状態に重ね合わせもなく、スペクトル全体を通じてエンタングルメントも存在しません。

横磁場がすべてを変える。 $x$ 方向に磁場を加えると、

事情は一変します。同じサイトの $S_i^x$ は $S_i^z$ と交換しないため、$H$ の 2 つの項をもはや同時に対角化することはできません。その固有状態は、単一スピン反転（$S^x$ はスピンを上向きと下向きの間で反転させます）で結ばれた経典的なスピン配置の、正真正銘の重ね合わせとなります。これによってモデルは本物の量子力学的ダイナミクス、基底状態のエンタングルメント、そして後述する本物の量子相転移を持つようになります——これらはいずれも $\Gamma = 0$ では存在しません。

ここで、最初の和はすべての最近接対にわたって取られ、$\Gamma$ は横磁場と呼ばれます。1 次元では、系は $\Gamma/J_z = \frac{1}{2}$ で臨界になります（後述）。$\Gamma = 0$ では、基底状態は経典的なイジング基底状態に帰着します：$J_z > 0$ では反強磁性、$J_z < 0$ では強磁性です。

量子計算・量子シミュレーションの題材として。 横磁場イジングモデルは、経典的な極限と、調整可能で非可換な量子項の両方を併せ持つ最も単純な格子モデルであるため、凝縮系理論の枠を超えた標準的なベンチマークとなっています。

• 量子アニーラーにとって自然な対象ハミルトニアンです。横磁場はまさに、アニーリング過程を駆動する経典配置間の量子トンネリングを与えます（Kadowaki and Nishimori (1998)）。D-Wave の量子アニーラーのような装置は、制御可能な横磁場を持つイジング型ハミルトニアンを中心に構築されています。
• アナログ量子シミュレータ——リュードベリ原子アレイ、トラップイオン、超伝導量子ビット素子——で実現された最初期の非自明なハミルトニアンの一つです。これは、実験的に直接組み立てられるほど単純でありながら、本物の量子相転移を示すほど豊かであるためです。
• 量子アルゴリズムを紹介する授業や教科書における標準的な最初の例です。その 2 つの項は、量子アニーリングや量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）で使われる、2 つの非可換な構成要素（対角的な「問題」ハミルトニアンと、横磁場による「ミキサー」ハミルトニアン）そのものです。

モデルの物理

単一スピンだけで、なぜ秩序が壊れるかがわかる。 格子全体を扱う前に、横磁場中の単一スピン $H = \Gamma S^x$ を見ておくと理解の助けになります。$S^x$ の固有状態は等重率の重ね合わせ $|{\pm x}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\!\uparrow\rangle \pm |\!\downarrow\rangle)$ であり、（$\Gamma$ の符号に応じて）どちらが基底状態であっても、厳密に $\langle S^z \rangle = 0$ となります。横磁場中の単一スピンは決して $z$ 方向を向くことができません。なぜなら $\Gamma \neq 0$ になった時点で、$S^z$ はもはや保存され明確に定まった量ではなくなるからです。これが、以降のすべての現象の微視的な種です。格子のどこであれ $\Gamma$ をオンにすると、それは各スピンの $z$ 方向の向きを絶えずランダム化しようとし、$J_z$ による秩序化の傾向と直接競合します。

極限的な場合。 $\Gamma = 0$ では、モデルはイジングモデルのページで論じた経典的なイジングモデルに厳密に帰着します。基底状態は経典的な反強磁性または強磁性のパターンであり、すべてのスピンを同時に反転させてもエネルギーがかからないため、2 重に縮退しています。$\Gamma \to \infty$ では、磁場項が完全に支配的となり、基底状態はすべてのスピンが $+x$ 方向に完全に偏極した、縮退のない単一の積状態になります——あらゆる秩序を持たない、特徴のない量子常磁性体で、すべてのサイトで $\langle S_i^z \rangle = 0$ です。興味深い物理——後述する量子相転移——は、どちらの極限による記述も成り立たなくなり、2 つの競合する傾向が拮抗する中間的な $\Gamma$ で起こります。

ジョルダン・ウィグナー変換による厳密解。 1 次元の横磁場イジングモデルが特別であり、これほど人気のある最初の例となっている理由は、上記の 2 つの極限だけでなく、任意の $\Gamma$ と $J_z$ に対して厳密に解けるという点にあります。ジョルダンとウィグナーによるトリックは、スピン 1/2 演算子をフェルミオンの生成・消滅演算子として書き換えることです。ただし各演算子には、鎖に沿ってそれより前にあるすべてのスピンから作られる非局所的な「弦」が付随します——これは、フェルミオンが反交換する一方で異なるサイトのスピン演算子は交換するために必要となる帳尻合わせの仕掛けです。これらのフェルミオンで書くと、ハミルトニアンは2 次形式になります。すなわち、格子上をホッピングし対を作る自由フェルミオンのモデルであり、フェルミオン間の相互作用はまったく残っていません。このような 2 次形式のフェルミオン・ハミルトニアンは、さらなる変数変換（ボゴリューボフ変換）によって厳密に対角化でき、$\Gamma$ と $J_z$ の関数としてのフェルミオン励起の明示的な単一粒子分散関係 $\epsilon(k)$ が得られます。この厳密解（Pfeuty (1970)）こそが、上で述べた正確な臨界比 $\Gamma/J_z = \frac{1}{2}$ を与えるものです。それはまさに、励起ギャップ $\min_k \epsilon(k)$ が閉じ、相転移を告げる点にほかなりません。

ドメインウォールとスピン反転：同じ励起の 2 つの顔。 ジョルダン・ウィグナー・フェルミオンは、もとのスピンの言葉で直接的かつ物理的に直感的な解釈を持ちます。秩序相の奥深く（$\Gamma \ll J_z$）では、秩序化した背景に対して 1 つのスピンを反転させると、欠陥が 1 つではなく、反転させたスピンの両側に 2 つ のドメインウォールが生じます。それぞれが磁化の符号が異なる領域どうしを隔てており、これらのドメインウォールがその後、格子サイト 1 つずつ鎖に沿ってホッピングできるようにし、また対になって生成・消滅できるようにしているのが横磁場です。無秩序相の奥深く（$\Gamma \gg J_z$）では、同じフェルミオン準粒子は、むしろ完全に $x$ 方向に偏極した背景から反転した 1 つのスピンとして捉える方が自然です。これらは、同一の粒子的な励起についての、2 つの極限における異なる記述にすぎません。そのエネルギーギャップは、$\Gamma$ がどちら側から $\Gamma_c$ に近づいても連続的に縮小し、転移点でちょうどゼロになります。そこでは励起はギャップレスになり、低エネルギーの物理はスケール不変になります。

$d$ 次元の量子模型は $d+1$ 次元の経典模型である。 より一般に、任意の空間次元 $d$ において、$d$ 次元の量子横磁場イジングモデルは $(d+1)$ 次元の経典イジングモデルに写像できます。余分な次元は虚時間を表します。量子力学的な演算子 $e^{-\beta H}$ を多数の薄いスライスに分割し、それぞれのスライスの間に経典スピン配置の完全系を挿入する（鈴木・トロッター分解）ことで、量子分配関数は $(d+1)$ 次元格子上に住む普通の経典イジングモデルの分配関数になります。ここで横磁場は、隣り合う時間スライスどうしがどれだけ強く結合しているかを制御します。この量子・経典対応は、純粋に経典的なイジングモデルのページへと戻る概念的な橋であると同時に、後述の量子モンテカルロ法がそもそも機能する実際的な理由でもあります。すなわち、これらの手法は 1 次元高い等価な経典モデルの配置をサンプリングしているのであり、これはちょうど経典イジングモデル自身のモンテカルロ法が経典スピン配置を直接サンプリングするのと同じです。特に 1 次元 TFIM の量子臨界点では、空間と虚時間はまったく対等な立場で現れるため、そこでの転移は 2 次元経典イジングモデルがちょうどその臨界点にある場合と等価です。

現象

量子相転移と経典相転移の違い。 経典イジングモデルの相転移は温度によって駆動されます。結合 $J$ がどれほど強くても、$T$ を十分に高くすれば熱ゆらぎは最終的に必ず秩序を破壊します。TFIM の相転移は、種類として根本的に異なります——それはちょうど $T=0$ で起こり、そこには熱ゆらぎはまったく存在せず、代わりに横磁場 $\Gamma$ の強さ、すなわち上で導入したような量子ゆらぎによって純粋に駆動されます。形式的には、これは $\Gamma$ が $\Gamma_c$ を通過するにつれて基底状態そのものの性質が定性的に変化することとして現れます——この現象は、経典転移の場合とまったく同様に、無限格子の極限においてのみ真に鋭く（数学的に非解析的に）なります。

• $\Gamma < \Gamma_c$ のとき、系は秩序相にあります。$J_z$ 項が勝り、基底状態はモデルの $\mathbb{Z}_2$ 対称性——すべてのサイトで同時に行う $S_i^z \to -S_i^z$ という対称性で、ハミルトニアンはこの操作の下で不変ですが秩序状態はそうではありません——を自発的に破り、2 つの可能な秩序配置のうち一方を選び取ります。
• $\Gamma > \Gamma_c$ のとき、系は無秩序相にあります。磁場項が勝り、量子ゆらぎが格子全体で支配的となり、$\mathbb{Z}_2$ 対称性が回復するため、横磁場中の単一スピンの場合とまったく同様に、どこでも $\langle S_i^z \rangle = 0$ となります。

秩序変数と自発的対称性の破れ。 自然な秩序変数は経典イジングモデルで使われるものと同じ、$m = \langle S_i^z \rangle$ です。これは無秩序相全体でゼロであり、$\Gamma$ を $\Gamma_c$ より下まで下げていくにつれてゼロから連続的に増大します——これもまた、経典モデルの場合とまったく同様の連続的（2 次の）転移ですが、今度は $T$ ではなく $\Gamma$ の関数としてです。これを数値的に計算しようとする場合に知っておく価値のある微妙な点があります。有限格子上では $\mathbb{Z}_2$ 対称性は真には破れることができないため、2 つの秩序配置は対称・反対称の組み合わせに混ざり合い、それぞれ基底状態と第一励起状態を構成します。両者のエネルギー差は、格子が大きくなるにつれて指数関数的に急速に縮小します。この分裂が完全にゼロになり、真の対称性の破れ——真にゼロでない秩序変数を伴う——が可能になるのは、熱力学極限においてのみです。この有限サイズによる分裂は、以下の ED-04 チュートリアル で計算される低励起スペクトルの中に直接見ることができ、あらゆる有限サイズの数値的研究において自発的対称性の破れを診断するための、非常に汎用的で有用な手掛かりとなります。

量子臨界性。 $\Gamma_c$ の近くでは、相関長 $\xi$——大まかに言えば、スピン間の相関が格子に沿ってどれだけ広がるか——が $\xi \sim |\Gamma - \Gamma_c|^{-\nu}$ として発散します。これは温度によって駆動される経典的な連続転移の場合とまったく同様です。しかし転移が量子的であるため、今度は同様の形で発散する相関時間も存在し、$\xi_\tau \sim \xi^{z}$ という形で、経典転移には対応物のない動的臨界指数 $z$ によって特徴づけられます。上記の量子・経典対応は、1 次元 TFIM の量子臨界点が、空間と虚時間が対称的に現れる 2 次元経典イジング臨界点と等価であることを示しています。それに対応して、この量子臨界点は $z=1$ を持ち、イジングモデルのページにある経典的な 2 次元イジング転移とまったく同じ臨界指数を共有します——例えば $\nu = 1$ と $\eta = 1/4$ であり、この $\eta$ の値は、純粋に経典的なモデルについて MC-07 チュートリアル で数値的に得られた値とまったく同じです。

イジングモデル自体を超えた普遍性。 TFIM は、$\mathbb{Z}_2$ 対称な秩序相と、単一の調整パラメータによって駆動される連続的な量子相転移を持つ最も単純なモデルであるため、その普遍類は、微視的にはまったく異なって見える他の多くの系の低エネルギー物理を記述します——ある種の構造（強誘電体）相転移、強い易軸異方性を持つ量子磁性体、さらに抽象的には、秩序化しようとする相互作用と競合する単一のゆらぐ 2 状態自由度に低エネルギー物理が帰着するあらゆる系などです。これはまさに、経典モデルについてすでに導入された普遍性という現象そのものが、量子・経典対応を通じて拡張されたものです。

手法

1 次元の横磁場イジングモデルは厳密に解くことができます（Pfeuty (1970)）。1 次元を超える場合や、厳密解からは得られない性質（例えば熱力学極限から離れた有限サイズのスペクトルなど）については、数値的手法が必要になります。

以下の 2 つのチュートリアルでは、臨界横磁場イジング鎖を直接扱います。

• ED-04: 1 次元臨界スペクトルの共形場理論による記述 —— sparsediag を用いて臨界横磁場イジング鎖の有限サイズスペクトルを計算し、得られたスケーリング次元を既知の共形場理論の演算子内容と照合します
• 横磁場量子イジングモデル（Jupyter ノートブック） —— 同じ計算をインタラクティブに実行できるノートブック版

ALPS の他のモデルの概要については ALPS のモデル を参照してください。