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チュートリアル
Density Matrix Renormalization Group
DMRG-02 Heisenberg Spin Chains

DMRG-02 Heisenberg Spin Chains

模型：ハイゼンベルクスピン鎖

DMRG の応用として、長さ LL のスピン-1/2 およびスピン-1 反強磁性ハイゼンベルク鎖の二つの模型を考えます。ハミルトニアンは次の通りです：

H=J∑i=1L−1[12(Si+Si+1−+Si−Si+1+)+SizSi+1z]. H = J\sum_{i=1}^{L-1} \left[\frac{1}{2} (S^+_i S^-_{i+1} + S^-_i S^+_{i+1}) + S^z_i S^z_{i+1}\right] .

他のチュートリアルですでにご存知かもしれないこの二つの模型を選んだ理由は、表面上の類似性にもかかわらず、全く異なる物理的振る舞いを示し、DMRG アルゴリズムに対しても全く異なる挑戦をもたらすからです。DMRG 計算を実行する前に、基底状態エネルギー、ギャップ、および以降のチュートリアルでの相関計算のための厳密・数値的な基準値を手元に準備するために、それらの物理的性質を簡単に復習しましょう。

スピン-1/2 鎖

スピン-1/2 鎖の基底状態は Bethe 仮設によって厳密に構築できます。したがって、その基底状態エネルギーを厳密に知っています。熱力学極限 L→∞L\rightarrow\infty における格子点あたりのエネルギーは：

E0/J=1/4−ln⁡2=−0.4431471805599... E_0/J = 1/4 - \ln 2 = -0.4431471805599...

基底状態エネルギーは他のエネルギーと比較しない限り、それ自体では限られた意味しか持ちません。しかし、これは DMRG 法の美しい基準値として機能します。DMRG-03 で数値的に検証します。より興味深いのは、基底状態が励起状態から熱力学極限でも残るエネルギー差で分離されているかどうか、すなわちギャップがゼロかどうかです。スピン-1/2 鎖ではギャップはゼロです。

同時に、異なるサイトのスピン間の相関がどのようなものかを問いたくなります。無限長のスピン-1/2 鎖では、漸近的に（すなわち ∣i−j∣→∞|i-j| \rightarrow \infty で）：

⟨SizSjz⟩∼(−1)∣i−j∣ln⁡∣i−j∣∣i−j∣. \langle S^z_i S^z_j \rangle \sim (-1)^{|i-j|} \frac{\sqrt{\ln|i-j|}}{|i-j|} .

スピン-1/2 鎖は臨界です。つまり、スピン間の反強磁性相関は距離に伴ってべき乗則で減衰します：⟨SizSjz⟩∼(−1)∣i−j∣⋅∣i−j∣−η\langle S^z_i S^z_j \rangle \sim (-1)^{|i-j|}\cdot|i-j|^{-\eta}、臨界指数は η=1\eta=1。見苦しい対数は周辺的に非関連な演算子から来ており、漸近的にはスケーリングを変えませんが、ED-04 で議論されているように、ゆっくりと変化する乗法的因子を導入します。臨界指数は、漸近極限での距離に対する相関関数 C(r)C(r) の対数微分として定義されます：

η≡−lim⁡r→∞dln⁡∣C(r)∣dln⁡r,C(r)≡∣⟨SizSjz⟩∣∣i−j∣=r∼ln⁡rr \eta \equiv -\lim_{r\rightarrow\infty} \frac{d\ln |C(r)|}{d\ln r} ,\qquad C(r) \equiv \left| \langle S^z_i S^z_j \rangle \right|_{|i-j|=r} \sim \frac{\sqrt{\ln r}}{r}

したがって、有限の距離 rr で測定される指数は：

η=lim⁡r→∞(1−12ln⁡r)=1. \eta = \lim_{r\rightarrow\infty}\left(1 - \frac{1}{2\ln r}\right) = 1.

これはまさに上で述べた補正であり、非常に長い鎖での DMRG 計算によって美しく検証できます。しかし ln⁡r\ln r 自体の増大が非常に遅いため、1/(2ln⁡r)1/(2\ln r) は rr とともに非常にゆっくりとゼロに近づきます。したがって DMRG でアクセス可能な有限の鎖では、ηeff(r)\eta_{\rm eff}(r) は明らかに 1 より低い値をとり、それに向かってゆっくりと近づくだけです。最初の近似としてはこの補正を無視して η=1\eta=1 を目標としますが、数値的に抽出した指数が典型的に下回ることを念頭に置いてください。

スピン-1 鎖

何十年もの間、スピン-1 鎖はスピンの長さが異なることによる定量的な違いはあれ、スピン-1/2 鎖と同様の振る舞いをするだろうと考えられていました。1982 年に Duncan Haldane が、等方的反強磁性ハイゼンベルク鎖にはスピンの長さ、すなわち半整数スピン（S=1/2,3/2,...S=1/2,3/2,...）と整数スピン（S=1S=1）の間で根本的な違いがあるはずだと指摘したことは大きな驚きでした。この違いはスピンの長さが小さいほど顕著です。こうしてスピン-1 鎖は強い関心の焦点となり、実際 DMRG の最も重要な初期応用のいくつかはこの系に対してのものでした。

スピン-1/2 鎖とは異なり、スピン-1 鎖には解析的手段で厳密に計算できる性質がありません。定量的な議論では、完全に数値計算に頼らなければなりません。

格子点あたりの基底状態エネルギーは：

E0/J=−1.401484039.... E_0/J = -1.401484039 ... .

ここでもギャップの存在の問題がより重要であり、スピン-1/2 鎖との大きな違いの一つがここに現れます：熱力学極限において、スピン-1 鎖のギャップは有限であり：

Δ/J=0.41052 \Delta/J = 0.41052

5桁の精度で与えられます。

スピン-スピン相関の振る舞いの問題は、スピン-1/2 の場合とのさらに別の大きな違いをもたらします。相関は漸近的に（すなわち ∣i−j∣→∞|i-j| \rightarrow \infty で）：

⟨SizSjz⟩∼(−1)∣i−j∣exp⁡(−∣i−j∣/ξ)∣i−j∣. \langle S^z_i S^z_j \rangle \sim (-1)^{|i-j|} \frac{\exp (-|i-j|/\xi)}{\sqrt{|i-j|}} .

主要な寄与は今や長さスケール ξ\xi（相関長）で起きる指数減衰であり、この特定の場合では数値的に ξ=6.02\xi=6.02 と求められます。分母に距離の平方根という解析的な（べき乗則）補正がありますが、速い指数減衰と比べて遅い寄与であるため、相関長の計算では通常無視されます。もちろん、相関長がもっと大きければ重要になるでしょう。

したがって、スピン-1 鎖は有限のギャップと指数的に減衰する相関を持つ非臨界量子系の典型的な例です。実際のところ、これは DMRG がシミュレートするのに最も得意なタイプの系です。

残りのチュートリアルの計画

これらの基準値が確立されたところで、DMRG-03 では両鎖の基底状態エネルギーを数値的に計算する最初の dmrg 実行を行い、DMRG-04 では有限 LL の DMRG 計算からギャップ Δ\Delta を抽出し熱力学極限に外挿する方法を示し、DMRG-05 では磁化プロファイルなどの局所オブザーバブルを用いてスピン-1 鎖の境界励起とバルク励起を区別し、DMRG-06 ではスピン-スピン相関関数を直接計算してスピン-1/2 鎖のべき乗則指数とスピン-1 鎖の相関長 ξ\xi を抽出します。

DMRG-01 IntroductionDMRG-03 Ground State Energies