DMRG-05 Local Observables

特定のサイトに関連するオブザーバブルを局所オブザーバブルと呼びます。スピン鎖の場合、意味のある局所オブザーバブルは局所磁化 $\langle S^z_i \rangle$ です。

スピン-1 鎖における励起

長さ $L=96$ 、 $D=200$ の鎖を取り、局所磁化 $\langle S^z_i \rangle$ を計算します。磁化セクター 0、1、2 の基底状態についてサイト $i$ の関数としてプロットします。

得られるのは、セクター 0 では本質的に平坦な曲線、セクター 1 では磁化が本質的に鎖端に集中、セクター 2 では磁化が鎖端とバルクの両方に存在するというものです。これは、開放鎖の第一励起が境界励起であり、閉じた系では存在しないことを意味します。そして開放鎖の第二励起は、境界励起プラスバルク励起であり、これが私たちの関心対象です。今のところ理由は不明ですが、したがって第一バルク励起エネルギーはセクター 1 と 2 を比較することで抽出しなければなりません。

この話の教訓は、この局所オブザーバブルを見ることで、スピン-1 鎖における境界励起とバルク励起を区別できるということです。

パラメータファイルを使う場合

次のパラメータファイル spin_one は三つの個別の実行を設定します。各スピンセクターに一つずつです（前と同様に、説明のため小さいシステムと状態数を使用します）：

LATTICE_LIBRARY="my_lattices.xml"
LATTICE="open chain lattice with special edges 32"
MODEL="spin"
local_S0=0.5
local_S1=1
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N,Sz"
J=1
NUMBER_EIGENVALUES=1
SWEEPS=4
MEASURE_LOCAL[Local magnetization]=Sz
MAXSTATES=40
{ Sz_total=0 }
{ Sz_total=1 }
{ Sz_total=2 }

通常のコマンド列を使って変換と実行を行います：

parameter2xml spin_one
dmrg --write-xml spin_one.in.xml

Python を使う場合

スクリプト spin_one.py は三つのスピンセクターそれぞれで一つのシミュレーションを実行します：

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot
parms = []
for sz in [0,1,2]:
    parms.append( { 
        'LATTICE_LIBRARY'           : 'my_lattices.xml',
        'LATTICE'                   : 'open chain lattice with special edges 32',
        'MODEL'                     : "spin",
        'local_S0'                  : '0.5',
        'local_S1'                  : '1',
        'CONSERVED_QUANTUMNUMBERS'  : 'N,Sz',
        'Sz_total'                  : sz,
        'J'                         : 1,
        'SWEEPS'                    : 4,
        'NUMBER_EIGENVALUES'        : 1,
        'MAXSTATES'                 : 40,
        'MEASURE_LOCAL[Local magnetization]'   : 'Sz'
} )

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm_spin_one',parms)
res = pyalps.runApplication('dmrg',input_file,writexml=True)

データファイルを読み込んだ後、局所磁化の結果を抽出できます：

data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm_spin_one'))

curves = []
for run in data:
    for s in run:
        if s.props['observable'] == 'Local magnetization':
            sz = s.props['Sz_total']
            s.props['label'] = '$S_z = ' + str(sz) + '$'
            s.y = s.y.flatten()
            curves.append(s)

そしてプロットします：

plt.figure()
pyalps.plot.plot(curves)
plt.legend()
plt.title('Magnetization of antiferromagnetic Heisenberg chain (S=1)')
plt.ylabel('local magnetization')
plt.xlabel('site')
plt.show()

スピン-1/2 鎖における磁化

最低の磁化セクターでのスピン-1/2 鎖について同様の計算を繰り返します。

パラメータファイルを使う場合

次のパラメータファイルでこのタスクを達成できます。こちらからダウンロードできます：

LATTICE="open chain lattice"
MODEL="spin"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N,Sz"
SWEEPS=4
J=1
NUMBER_EIGENVALUES=1
MEASURE_LOCAL[Local magnetization]=Sz
L=32
MAXSTATES=40
{ Sz_total=0 }
{ Sz_total=1 }
{ Sz_total=2 }

parameter2xml spin_one_half
dmrg --write-xml spin_one_half.in.xml

Python を使う場合

パラメータの変更を除いて、スクリプト spin_one_half.py は上で説明した spin_one スクリプトと同じです。

まとめ

局所磁化プロファイルは、開放スピン-1 鎖における境界励起とバルク励起をきれいに分離します。だからこそ DMRG-04 で研究した物理的に関連する（バルク）ギャップは、0 と 1 ではなく磁化セクター 1 と 2 の間から読み取らなければなりません。

問題

最低の磁化セクターにおけるスピン-1/2 鎖の局所磁化計算を繰り返すと、上のスピン-1 の場合と比較して何が観察されますか？

DMRG-04 Gaps DMRG-06 Correlations