Exact Diagonalization

ALPS の厳密対角化チュートリアルでは、有限量子格子模型を対象とする sparsediag と fulldiag の2つのアプリケーションを扱います。 sparsediag は反復的な Lanczos アルゴリズムを用いて、各対称性セクター（全 $S_z$、運動量など）における最低固有状態を計算し、fulldiag はハミルトニアン全体を対角化して全スペクトルを求め、そこから有限温度における熱力学量を導出します。 どちらの手法もハミルトニアン行列を直接扱うため、結果は数値的に厳密であり、量子モンテカルロ法を制限する統計誤差や符号問題は生じません。その代償として、ヒルベルト空間は系のサイズに対して指数関数的に増大するため、扱える系のサイズはせいぜい数十サイトに限られます。 これらのチュートリアルは、基本的な固有状態測定から始まり、励起ギャップおよび全スペクトルの有限サイズスケーリングへと進み、量子相転移とその共形場理論による記述の同定を経て、最後に有限系の熱力学量を求める全対角化へと至ります。

スパース対角化（sparsediag）

sparsediag プログラムは、Lanczos アルゴリズムを用いて保存量子数のセクターごとに量子ハミルトニアンの最低固有状態を求めます。 以下のチュートリアルでは、まず計算された固有状態に対して行えるカスタム測定を紹介し、続いてそれらを用いて一次元スピン鎖およびラダー模型の励起ギャップと全低エネルギースペクトルを求めます。

• ED-01 Sparse Diagonalization (Lanczos) — 小さな S=1 ハイゼンベルク鎖に対して sparsediag を設定し、計算された固有状態に対するカスタム測定（相関関数と静的構造因子）の定義と読み出しを、コマンドラインと Python の両方の方法で示します。
• ED-02 Spin gaps of 1D quantum systems — 異なる $S_z$ セクターを対角化することで S=1 ハイゼンベルク鎖の一重項-三重項ギャップを計算し、鎖長に対するギャップの外挿を調べることで、熱力学極限における Haldane ギャップを明らかにします。
• ED-03 Spectra of 1D quantum systems — ハイゼンベルク鎖、二本脚ハイゼンベルクラダー、孤立した二量体系の運動量分解低エネルギースペクトルを計算し、格子構造が励起スペクトルをどのように決定するかを示します。

共形場理論と量子臨界性

量子臨界点では、一次元格子模型の有限サイズスペクトルが、その基礎にある共形場理論（CFT）の演算子内容を反映します。エネルギーギャップは $1/L$ でスケールし、その普遍的な振幅は CFT 演算子のスケーリング次元によって決まります。 以下のチュートリアルでは sparsediag を用いて有限サイズスペクトルからこの演算子内容を直接抽出し、それによって量子相転移を同定・特徴づけます。

• ED-04 Conformal field theory description of 1D critical spectra — 臨界横磁場イジング鎖と臨界ハイゼンベルク鎖の有限サイズスペクトルを計算し、抽出したスケーリング次元を既知の CFT 一次場およびその子孫場と照合します。
• ED-05 Phase transition in a frustrated spin chain — ハイゼンベルク鎖に次近接結合 $J_2$ を加え、異なる対称性セクターにおける準位交差とギャップを追跡することで、ギャップレス相と二量体化（Majumdar-Ghosh）相を分ける臨界点を同定し、その後臨界点における CFT 内容を改めて検討します。

全対角化（fulldiag）

fulldiag プログラムは有限ハミルトニアンの全スペクトルを計算し、そこから全固有状態にわたる和を取ることで、統計誤差を一切伴わない厳密な有限温度熱力学量（エネルギー、比熱、磁化率）を直接求めます。

• ED-06 Full Diagonalization — S=1 ハイゼンベルクスピン鎖およびラダーの熱力学量、結合二量体や $V_{15}$ 分子錯体を含む小さな磁性分子の熱力学量を計算し、さらに追加演習として小さな正方格子上のハバード模型の熱力学量を計算します。