Lattice and Unit Cells

格点模型通常定义在一个无限格子上，或者定义在其中有限的一部分上。这里我们从晶胞及其基矢量出发，说明如何用 XML 格式指定这两种情形。

无限格子

格子是通过将晶胞沿格子基矢量的整数倍平移并复制而构建的，下面以二维情形为例：

这样的格子由一个（可选的）名称和维度来描述。此外，我们还可以指定格子基矢量的笛卡尔坐标。对于上面的格子，这可以写成：

<LATTICE name="2D" dimension="2">
<BASIS>
    <VECTOR>   1 0 </VECTOR>
    <VECTOR> 0.5 1 </VECTOR>
</BASIS>
</LATTICE>

基矢量也可以用符号化、参数化的方式指定，例如：

<LATTICE name="2D" dimension="2">
<PARAMETER name="a" default="1"/>
<PARAMETER name="b" default="1"/>
<PARAMETER name="phi" default="Pi/2"/>
<BASIS>
    <VECTOR>   a 0 </VECTOR>
    <VECTOR> b*cos(phi) b*sin(phi) </VECTOR>
</BASIS>
</LATTICE>

在这里给出的默认值下，这与直接给出具体值 phi=Pi/2 得到的是同一个正方格子：第一个基矢量沿 x 轴方向，第二个基矢量长度为 b，与第一个基矢量夹角为 phi。

有限格子

有限延伸

（并非全部，但是）大多数计算模拟并不是在上面这种无限格子上进行的，而是在格子的一个有限部分上进行的。定义这样的有限格子有很多种方式：格子的任意有限子集本身就是一个有限格子，因此可能性是无穷的。首先，我们来定义最常见的具有有限延伸的格子，即晶胞在任一方向上最多被平移有限次——例如正方、矩形、立方或超立方格子——并在每个维度上指定其延伸范围。

要创建一个有限格子，可以这样定义：

<FINITELATTICE name="5x3">
<LATTICE name="2D" dimension="2"/>
<EXTENT dimension="1" size="5"/>
<EXTENT dimension="2" size="3"/>
</FINITELATTICE>

如果省略 dimension 属性，则假定该延伸适用于所有维度，例如线性尺寸为 4 的立方格子可以写成：

<FINITELATTICE>
<LATTICE dimension="3"/>
<EXTENT size="4"/>
</FINITELATTICE>

并不是所有维度都必须是有限的，宽度为 2 的无限长条带可以指定为：

<FINITELATTICE name="strip">
<LATTICE name="2D" dimension="2"/>
<EXTENT dimension="2" size="2"/>
</FINITELATTICE>

在许多应用中，具体的延伸范围并不是固定的，而是由用户指定的输入参数。我们同样可以用 <PARAMETER> 元素来指定延伸范围。对于一个 L × 2 的条带，可以写成：

<FINITELATTICE>
<LATTICE name="2D" dimension="2"/>
<PARAMETER name="L"/>
<EXTENT dimension="1" size="L"/>
<EXTENT dimension="2" size="2"/>
</FINITELATTICE>

如果我们想要一个大小为 L × W 的条带，并且在未指定 W 时其默认宽度为 2，就需要同时给出 size 属性和 parameter 属性：

<FINITELATTICE>
<LATTICE name="2D" dimension="2"/>
<PARAMETER name="L" />
<PARAMETER name="W" default="2" />
<EXTENT dimension="1" size="L" />
<EXTENT dimension="2" size="W" />
</FINITELATTICE>

最后，我们经常会考虑这样一种正方（或立方）格子：除非明确给出其他维度（例如 W 表示宽度，H 表示高度），否则所有维度都取相同的延伸 L。这可以描述为：

<FINITELATTICE>
<LATTICE name="3D" dimension="3"/>
<PARAMETER name="L" />
<PARAMETER name="W" default="L" />    
<PARAMETER name="H" default="W" />
<EXTENT dimension="1" size="L" />
<EXTENT dimension="2" size="W" />
<EXTENT dimension="3" size="H" />
</FINITELATTICE>

L 总是设定第一个维度的延伸，其余维度在未被覆盖时则回落到各自的默认值。因此，如果用户只指定了 L，得到的是 L×L×L 的立方体；如果指定了 L 和 W，得到的是 L×W×W 的长方体；如果指定了 L 和 H，得到的是 L×L×H 的长方体；如果 L、W、H 全部指定，则得到 L×W×H 的长方体。

边界条件

对于有限格子，除了延伸范围之外，还需要指定边界条件。常用的边界条件有：

• open（开放）：格子具有开放的边界，边界处的格点在一个或多个方向上没有相邻格点
• periodic（周期性）：格子被视为周期性的，即从一侧移出格子时，会从对面一侧重新进入格子。最右侧格点的右邻居就是最左侧的格点，最上方格点的上邻居就是最下方的格点。对于二维格子，这看起来就像一个环面（torus）。

针对这两种边界条件，我们定义了一个 <BOUNDARY> 元素，其 type 属性可以取这两个值之一。例如，对于一个周期性的 L × L 正方格子：

<FINITELATTICE>
<LATTICE name="2D" dimension="2"/>
<EXTENT size="L" />
<BOUNDARY type="periodic" />
</FINITELATTICE>

再例如，对于一个长方向周期性、短方向开放的条带：

<FINITELATTICE name="strip">
<LATTICE name="strip" dimension="2"/>
<PARAMETER name="W" default="2" />
<EXTENT dimension="1" size="L" />
<EXTENT dimension="2" size="W" />
<BOUNDARY dimension="1" type="periodic" />
<BOUNDARY dimension="2" type="open" />
</FINITELATTICE>

或者，如果希望在运行时确定边界条件，同样可以用一个 <PARAMETER> 元素来指定决定边界条件的参数名称，并可选地给出默认值：

<FINITELATTICE>
<LATTICE name="cube" dimension="3"/>
<PARAMETER name="BC" default="periodic" />
<EXTENT size="L" />
<BOUNDARY type="BC" />
</FINITELATTICE>

这将指定一个立方格子，其边界条件由参数 BC 给出，默认取周期性边界条件。

引用格子

除了每次都重新定义一个格子之外，我们也可以引用之前定义过的格子。例如，与其这样定义：

<FINITELATTICE name = "finite tilted 2D">
<LATTICE name="tilted 2D" dimension="2">
    <BASIS>
    <VECTOR>   1 0 </VECTOR>
    <VECTOR> 0.5 1 </VECTOR>
    </BASIS>
</LATTICE>
<PARAMETER name="BC" default="periodic" />
<EXTENT dimension="1" size="L" />
<EXTENT dimension="2" size="W" />
<BOUNDARY type="BC" />
</FINITELATTICE>

我们可以先定义这个无限格子：

<LATTICE name="tilted 2D" dimension="2">
<BASIS>
    <VECTOR>   1  0 </VECTOR>
    <VECTOR> 0.5 1 </VECTOR>
</BASIS>
</LATTICE>

然后，每次定义有限子格子时，通过在 lattice 元素中使用 ref 属性来引用这个格子，而不必重复其定义：

<FINITELATTICE name = "finite tilted 2D">
<LATTICE ref="tilted 2D"/>
<PARAMETER name="BC" default="periodic" />
<EXTENT dimension="1" size="L" />
<EXTENT dimension="2" size="W" />
<BOUNDARY type="BC" />
</FINITELATTICE>

关于本节其余内容的概览，请参见格子的定义。关于在模拟中选择格子所用的 LATTICE／GRAPH 输入参数，请参见常用参数。关于其他 ALPS 文档章节，请参见简介。