随位置变化的耦合

在普通的 ALPS 晶格上，模型中的每个耦合（mu、t、J、h 等）都只有一个值，用于所有格点，或同一类型的所有键。但很多问题需要随位置变化的耦合：化学势中的谐振子势阱或线性倾斜、梯度场，或者随机势。ALPS 用两部分来处理这类问题：

非均匀晶格：它让 ALPS 对每个格点（或每条键）分别计算格点项（或键项）；
参数表达式：它可以使用该格点或该键的坐标 x、y、z，或者随机数。

模型本身无需任何修改：models.xml 中的内置模型可以直接使用。

第一个例子

下面的参数文件把硬核玻色子放在一条 6 个格点的链上，并加上线性势 $\mu(x) = \mu_\text{left} - s\,x$ ：

LATTICE="inhomogeneous chain lattice"
L=6
MODEL="hardcore boson"
t=1
mu_left=1
slope=0.4
mu="mu_left - slope*x"
T=1
THERMALIZATION=5000
SWEEPS=20000
MEASURE[Local Density]=1

像平常一样运行即可，例如

parameter2xml parm_tilt
dirloop_sse parm_tilt.in.xml

Local Density 测量结果显示，密度从链的左端（ $x=0$ ）向右端（ $x=5$ ）逐渐降低。

mu 的值加了引号，因为它是一个表达式而不是一个数。它会对每个格点各计算一次，计算时 x 取该格点的坐标。表达式中可以引用其他参数，这里是 mu_left 和 slope。

辅助参数的名字要谨慎选择。大多数内置模型还会读取按类型区分的耦合，例如 mu0、t0、V0 或 J1（参见哈密顿量描述中的 # 通配符）。以这些名字命名的参数会在相应类型的格点或键上悄悄取代 mu、t、V 或 J。如果上面的例子用 mu0 和 V0 代替 mu_left 和 slope，那么 mu0=1 会在每个格点上覆盖倾斜的 mu，而 V0=0.4 会打开最近邻排斥相互作用，并且不会有任何错误或警告。

非均匀晶格

如果一个晶格的 <LATTICEGRAPH> 中包含 <INHOMOGENEOUS> 元素，它就是非均匀晶格。晶格库 lattices.xml 中已经有四个这样的晶格：

`LATTICE`	参数	非均匀的部分
`inhomogeneous chain lattice`	`L`	格点
`inhomogeneous square lattice`	`L`、`W`（默认 `L`）	格点
`inhomogeneous simple cubic lattice`	`L`、`W`（默认 `L`）、`H`（默认 `W`）	格点
`inhomogeneous anisotropic square lattice`	`L`、`W`（默认 `L`）	格点

这四个晶格都是开边界，并且只有格点项随位置变化。

要让自己定义的晶格成为非均匀晶格，在 <UNITCELL> 之后加上该元素：

<LATTICEGRAPH name = "inhomogeneous periodic chain lattice">
  <FINITELATTICE>
    <LATTICE ref="chain lattice"/>
    <EXTENT dimension="1" size="L"/>
    <BOUNDARY type="periodic"/>
  </FINITELATTICE>
  <UNITCELL ref="simple1d"/>
  <INHOMOGENEOUS><VERTEX/><EDGE/></INHOMOGENEOUS>
</LATTICEGRAPH>

<VERTEX/> 使格点项随位置变化，<EDGE/> 使键项随位置变化；可以只用其中一个，也可以两个都用。它们作用于所有格点或所有键：不支持用 type 属性把它们限制在某一种类型上。玻色玻璃页面用同样的元素给正方晶格加上周期边界。

用 LATTICE_LIBRARY 指定的文件会取代内置的 lattices.xml，而不是添加到其中。因此，像上面这样引用了 chain lattice 或 simple1d 的定义，需要把这些定义也放在同一个文件里。最简单的做法是复制一份 lattices.xml，再把你的晶格加到副本中。printgraph（参见检查晶格图）可以显示结果中的格点、键和坐标。

表达式中的坐标

在非均匀晶格上，表达式可以使用以下变量：

变量	在格点项中	在键项中
`x`	格点的第一个坐标	键中点的第一个坐标
`y`	第二个坐标（二维和三维晶格）	键中点的第二个坐标
`z`	第三个坐标（三维晶格）	键中点的第三个坐标

这些坐标就是 printgraph 为该晶格打印出的坐标。对于链、正方晶格和简单立方晶格，它们是整数的晶胞位置，沿第一个方向从 0 到 L-1。因此，在 L $\times$ L 正方晶格中心放一个势阱可以写成

LATTICE="inhomogeneous square lattice"
L=10
mu="4 - 0.2*((x-(L-1)/2)^2 + (y-(L-1)/2)^2)"

键项使用键的中点。在链上，连接 $x=2$ 和 $x=3$ 两个格点的键看到的是 x=2.5，所以在晶格中加上 <EDGE/> 之后，

J="1 + 0.2*x"

使这条键的 $J = 1.5$ 。

同样的变量也可以直接用在模型定义中。例如，下面这个 <HAMILTONIAN> 把倾斜势写进了模型里，参数文件只需要设置 mu 和 slope：

<HAMILTONIAN name="tilted hardcore boson">
  <PARAMETER name="mu" default="0"/>
  <PARAMETER name="slope" default="0"/>
  <PARAMETER name="t" default="1"/>
  <BASIS ref="hardcore boson"/>
  <SITETERM site="i">-(mu - slope*x)*n(i)</SITETERM>
  <BONDTERM source="i" target="j">-t*(bdag(i)*b(j)+bdag(j)*b(i))</BONDTERM>
</HAMILTONIAN>

与 LATTICE_LIBRARY 一样，用 MODEL_LIBRARY 指定的文件会取代内置的 models.xml，所以请把新的哈密顿量加到 models.xml 的副本中。

两种常见的错误：

在没有 <INHOMOGENEOUS> 的晶格上，坐标没有定义，程序会停止并输出 Cannot evaluate expression ...，后面跟着使用了坐标的那个表达式。
在非均匀晶格上，x、y、z 是保留名字。把其中某一个定义为参数，程序会停止并输出 x, y or z is predefined as parameter and used as coordinate。

函数和运算符

表达式可以使用 +、-、*、/、^（乘方）和括号，常数 Pi（也可以写成 PI 或 pi），以及下列函数：

函数	含义
`sqrt(a)`、`abs(a)`	平方根、绝对值
`exp(a)`、`log(a)`	指数函数、自然对数
`sin(a)`、`cos(a)`、`tan(a)`	三角函数（弧度制）
`asin(a)`、`acos(a)`、`atan(a)`	反三角函数
`atan2(y, x)`	点 $(x, y)$ 的辐角
`random()`	$[0, 1)$ 上均匀分布的随机数
`gaussian_random()`	均值为 0、标准差为 1 的正态分布随机数
`gaussian_random(m, s)`	均值为 `m`、标准差为 `s` 的正态分布随机数
`integer_random(n)`	从 0 到 `n-1` 的随机整数

normal_random 是 gaussian_random 的另一个名字。

随机无序

在非均匀晶格上，随机函数会在每个格点（或每条键）上分别计算，因此

mu="delta*(2*random() - 1)"

让每个格点都有自己的化学势，在 -delta 和 delta 之间均匀分布。

这些随机数来自一个单独的随机数发生器，其种子是 DISORDERSEED（默认为 0）。这个种子与蒙特卡罗更新的种子 SEED 相互独立。因此，DISORDERSEED 相同的模拟看到的无序是相同的，即使它们的 SEED 不同。要对无序取平均，给每个无序实现在一个 { } 块中指定各自的 DISORDERSEED，这样每个实现就成为一个单独的任务：

{ DISORDERSEED = 34275; }
{ DISORDERSEED = 49802; }
{ DISORDERSEED = 82529; }

之后再对各任务的结果取平均。玻色玻璃页面给出了一个完整的例子。

哪些程序支持

随位置变化的耦合适用于精确对角化程序（sparsediag、fulldiag）、dmrg，以及量子蒙特卡罗程序（dirloop_sse、loop、worm）。光晶格中的玻色子页面用 dirloop_sse 模拟了三维势阱中的玻色子。

`worm` 需要晶格，而不是图

晶格库中的 GRAPH（一组顶点和边，没有晶胞）可以用于 dirloop_sse 和精确对角化程序，但不能用于 worm，后者会停止并输出

Cannot save a measurement of size 0.

要在单个三角形这样的小团簇上运行 worm，可以把这个团簇写成一个开边界晶格的晶胞，并设置 L=1。lattices.xml 中的 Kagome 晶胞就是一个 3 个格点的三角形，因此

<LATTICEGRAPH name = "open kagome lattice">
  <FINITELATTICE>
    <LATTICE ref="triangular lattice"/>
    <PARAMETER name="W" default="L"/>
    <EXTENT dimension="1" size="L"/>
    <EXTENT dimension="2" size="W"/>
    <BOUNDARY type="open"/>
  </FINITELATTICE>
  <UNITCELL ref="Kagome"/>
</LATTICEGRAPH>

配合 LATTICE="open kagome lattice" 和 L=1，就得到一个 worm 可以接受的三角形。再加上 <INHOMOGENEOUS><VERTEX/></INHOMOGENEOUS>，耦合也可以随位置变化。

关于这些参数所进入的哈密顿量各项，参见哈密顿量描述。关于晶格和晶胞如何定义，参见晶格定义。关于 ALPS 程序共用的其他参数，参见常用参数。

哈密顿量描述