量子算符

简单格点算符

用于构造哈密顿量算符的基本量子算符由名称、矩阵元以及（可选的）该算符对量子数造成的改变来指定。这些算符是在格点基内部定义的。例如：

<SITEBASIS name="spin">
<PARAMETER name="local_spin" default="1/2"/>
<QUANTUMNUMBER name="S" min="local_spin" max="local_spin"/>
<QUANTUMNUMBER name="Sz" min="-S" max="S"/>

<OPERATOR name="Splus" matrixelement="sqrt(S*(S+1)-Sz*(Sz+1))">
    <CHANGE quantumnumber="Sz" change="1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="Sminus" matrixelement="sqrt(S*(S+1)-Sz*(Sz-1))">
    <CHANGE quantumnumber="Sz" change="-1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="Sz" matrixelement="Sz"/>
</SITEBASIS>

<SITEBASIS name="boson">
<PARAMETER name="Nmax" default="infinity"/>
<QUANTUMNUMBER name="N" min="0" max="Nmax"/>

<OPERATOR name="bdag" matrixelement="sqrt(N+1)">
    <CHANGE quantumnumber="N" change="1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="b" matrixelement="sqrt(N)">
    <CHANGE quantumnumber="N" change="-1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="n" matrixelement="N"/>
</SITEBASIS>

<SITEBASIS name="fermion">
<QUANTUMNUMBER name="Nup" min="0" max="1" type="fermionic"/>
<QUANTUMNUMBER name="Ndown" min="0" max="1" type="fermionic"/>

<OPERATOR name="cdag_up" matrixelement="1">
    <CHANGE quantumnumber="Nup" change="1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="c_up" matrixelement="1">
    <CHANGE quantumnumber="Nup" change="-1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="cdag_down" matrixelement="1">
    <CHANGE quantumnumber="Ndown" change="1"/>
</OPERATOR>

<OPERATOR name="c_down" matrixelement="1">
    <CHANGE quantumnumber="Ndown" change="-1"/>
</OPERATOR>
</SITEBASIS>

与 bdag/b 不同，费米型的产生/湮灭算符 cdag_up/c_up 的矩阵元只是简单的 1，而不是平方根形式，这是因为 Nup 只能取 0 和 1 这两个值：<QUANTUMNUMBER> 本身的 max="1" 已经禁止了双占据，因此不需要依赖占据数的前置系数。将 Nup/Ndown 声明为 type="fermionic"（如格点基中所述）正是使这些算符能与其他格点上的费米算符正确反对易的原因 —— 这也正是下面 cdag_up/c_up 能够被组合成 fermion_hop 键算符的原因。

可选的 <CHANGE> 元素说明施加该算符会使给定的量子数改变指定的量 —— Splus 使 Sz 增加 1，Sminus 使其减少 1，而 bdag/b 使 N 增加/减少 1。没有 <CHANGE> 元素的算符，例如上面的 Sz 或 n，是对角的：它不改变任何量子数。在矩阵元的表达式中，可以通过量子数的名称（本例中的 S、Sz、N）来引用其取值——这些取值总是按照施加 <CHANGE> 之前的初始态来求值。

复合格点算符

除了以唯一方式改变某个量子数的简单格点算符之外，我们还可以构造更复杂的格点算符，例如 Sx 自旋算符：

<SITEOPERATOR name="Sx" site="i">
1/2*(Splus(i)+Sminus(i))
</SITEOPERATOR>

或者用于计数同一格点上玻色子对数目的算符，例如出现在 Bose-Hubbard 哈密顿量的在位相互作用项中：

<SITEOPERATOR name="double_occupancy" site="x">
n(x)*(n(x)-1)/2
</SITEOPERATOR>

这些算符定义可以使用任何其他简单或复合的格点算符。给算符的括号中传入的参数是该格点的符号名，由 <SITEOPERATOR> 元素中的 site 属性指定。

复合键算符

与复合格点算符类似，我们也可以定义作用于两个格点的键算符。下面第一个例子是用 Sz、Splus 和 Sminus 写出的海森堡交换相互作用 S(x)·S(y)；第二个例子是用独立的向上、向下自旋算符写出的、保持自旋守恒的费米子跃迁项：

<BONDOPERATOR name="exchange" source="x" target="y">
Sz(x)*Sz(y)+1/2*(Splus(x)*Sminus(y)+Sminus(x)*Splus(y))
</BONDOPERATOR>

<BONDOPERATOR name="fermion_hop" source="x" target="y">
cdag_up(x)*c_up(y)+cdag_up(y)*c_up(x)+cdag_down(x)*c_down(y)+cdag_down(y)*c_down(x)
</BONDOPERATOR>

这里我们有两个格点，分别标记为 source 和 target。本页定义的所有算符——简单格点算符、复合格点算符和键算符——都可以在 <HAMILTONIAN> 的 <SITETERM>/<BONDTERM> 元素中按名称引用（参见哈密顿量描述），也可以在自定义测量的定义中使用（参见 ALPS 自定义测量）。

关于本节其余部分的概览，参见 ALPS 模型定义。关于如何将这些算符组装成哈密顿量，参见哈密顿量描述。关于 ALPS 文档的其他章节，参见总体介绍。