Jacobi 旋转

Jacobi 旋转方法是一种用于对角化对称矩阵的经典迭代算法。它特别适合中小尺寸的矩阵，并以简单、稳健著称。该方法通过一系列正交变换（旋转）系统地消去非对角元，最终收敛到一个对角矩阵，其对角元即为原矩阵的本征值。

Jacobi 方法每次针对矩阵中最大的非对角元，施加一次旋转将其消为零。这一过程反复迭代，直到所有非对角元都足够小，从而得到一个对角矩阵。原矩阵的本征值就位于对角线上，而本征矢则由过程中施加的所有旋转矩阵的乘积给出。

原理

对于对称矩阵 $A$，目标是找到一个正交矩阵 $P$，使得：

其中 $D$ 是由 $A$ 的本征值构成的对角矩阵，$P$ 的各列是相应的本征矢。

Jacobi 方法通过对 $A$ 施加一系列正交变换（旋转）来实现这一目标。每次旋转针对一个特定的非对角元 $A_{ij}$，并将其消为零。

旋转矩阵

Jacobi 旋转矩阵 $R$ 是一个正交矩阵，它与单位矩阵只有四个矩阵元不同：

其中，$\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 位于第 $i$、$j$ 行与第 $i$、$j$ 列的交点处。选取角度 $\theta$ 使非对角元 $A_{ij}$ 被消为零。

算法

1. 找出最大的非对角元：

   • 在矩阵 $A$ 中找出（绝对值）最大的非对角元 $A_{ij}$。

2. 计算旋转角 $\theta$：

   • 选取角度 $\theta$ 使其满足： $$\tan(2\theta) = \frac{2A_{ij}}{A_{ii} - A_{jj}}$$
   • 由此计算 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$。

3. 构造旋转矩阵 $R$：

   • 用 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 构造旋转矩阵 $R$。

4. 施加旋转：

   • 按如下方式更新矩阵 $A$： $$A^{\prime} = R^T A R$$
   • 该变换将 $A_{ij}$ 和 $A_{ji}$ 消为零。

5. 累积变换：

   • 按如下方式更新本征矢矩阵 $P$： $$P^{\prime} = P R$$
   • 这样累积各次旋转，形成最终的本征矢矩阵。

6. 重复直至收敛：

   • 重复上述过程，直到所有非对角元都小于指定的容差 $\epsilon$。

示例

考虑对称矩阵 $A$：

第 1 步：初始化

从矩阵 $A$ 和一个用于累积旋转的单位矩阵 $P$ 开始：

第 2 步：找出最大的非对角元

$A$ 中最大的非对角元是 $A_{13} = 2.000000$。

第 3 步：计算旋转参数

对于 $(1, 3)$ 平面内的旋转：

• 计算角度 $\theta$：

  $$\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2A_{13}}{A_{11} - A_{33}}\right).$$

  代入数值：

  $$\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot 2.000000}{4.000000 - 5.000000}\right) = \frac{1}{2} \arctan(-4.000000).$$

  使用单精度运算：

  $$\theta \approx -0.674741 \, \text{radians}.$$

• 计算 $c = \cos(\theta)$ 和 $s = \sin(\theta)$：

  $$c \approx 0.780869, \quad s \approx -0.624695.$$

第 4 步：施加旋转

构造旋转矩阵 $J$：

更新 $A$ 和 $P$：

旋转之后：

第 5 步：对其他非对角元重复上述过程

对下一个最大的非对角元重复这一过程，直到所有非对角元都足够小（例如低于容差 $10^{-6}$）。

第 6 步：最终的对角化矩阵

收敛后，对角化后的矩阵 $A$ 为：

相应的本征矢矩阵 $P$ 为：

优点

• 简单：算法易于实现。
• 稳健：对于对称矩阵保证收敛。
• 精确：能给出高精度的本征值和本征矢。

局限性

• 收敛慢：对于大矩阵，该方法需要很多次迭代。
• 大矩阵效率低：不适用于非常大的矩阵或稀疏矩阵。
• 计算代价：每次旋转都需要更新整个矩阵，对于大体系代价可能很高。