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ALPS 中的方法
量子蒙特卡洛模拟
随机级数展开（SSE）

随机级数展开（SSE）

随机级数展开（SSE）方法是一种有限温度 QMC 技术，它将量子系统的配分函数 ZZ 展开为哈密顿量的幂级数。它最初被应用于海森堡模型 1，但可以很容易地推广到其他量子模型，例如玻色-Hubbard 模型。

量子模型的配分函数为：

Z=Tr(e−βH), Z = \text{Tr}(e^{-\beta \mathcal{H}}),

其中 β=1/(kBT)\beta = 1/(k_B T) 为逆温度，H\mathcal{H} 为哈密顿量。SSE 的核心思想是将指数算符 e−βHe^{-\beta \mathcal{H}} 表示为泰勒级数：

e−βH=∑n=0∞(−β)nn!Hn. e^{-\beta \mathcal{H}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\beta)^n}{n!} \mathcal{H}^n.

插入一组完备基矢 {∣α⟩}\{|\alpha\rangle\} 后，配分函数可以改写为：

Z=∑α∑n=0∞(−β)nn!⟨α∣Hn∣α⟩. Z = \sum_{\alpha} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\beta)^n}{n!} \langle \alpha | \mathcal{H}^n | \alpha \rangle.

取决于温度，模拟中的 SSE 展开阶数永远不会超过某个有限阶数 NN。于是 SSE 方法在 NN 阶处截断该展开级数，并对其中各项进行随机采样。哈密顿量 H\mathcal{H} 通常被分解为一系列基本相互作用项 Hi,jH_{i,j} 之和，例如海森堡模型中的键算符：

H=−∑i,jHi,j. \mathcal{H} = -\sum_{i,j} H_{i,j}.

每一项 Hi,jH_{i,j} 作用在一对格点上，并可以在合适的基下表示。SSE 算法随后对由这些算符组成的序列构成的构型进行采样。

对于海森堡模型，键算符 Hi,jH_{i,j} 可以表示为：

Hi,j=J(SizSjz+12(Si+Sj−+Si−Sj+)), H_{i,j} = J \left( S_i^z S_j^z + \frac{1}{2} (S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+) \right),

其中 SizS_i^z 是自旋算符的 zz 分量，Si+S_i^+ 和 Si−S_i^- 分别是自旋升算符和降算符。第一项 SizSjzS_i^z S_j^z 表示相互作用的对角部分，第二项 12(Si+Sj−+Si−Sj+)\frac{1}{2} (S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+) 表示非对角部分。

对角与非对角矩阵元

海森堡模型

在 SSE 框架中，海森堡哈密顿量用对角算符和非对角算符来表示。对于给定的基矢 ∣α⟩|\alpha\rangle，键算符 Hi,jH_{i,j} 的矩阵元为：

  1. 对角矩阵元： 它们对应于 SizSjzS_i^z S_j^z 项，由下式给出：

    ⟨α∣SizSjz∣α⟩=SizSjz, \langle \alpha | S_i^z S_j^z | \alpha \rangle = S_i^z S_j^z,

    其中 SizS_i^z 和 SjzS_j^z 是态 ∣α⟩|\alpha\rangle 中自旋的 zz 分量。

  2. 非对角矩阵元： 它们对应于自旋翻转项 Si+Sj−S_i^+ S_j^- 和 Si−Sj+S_i^- S_j^+。对于态 ∣α⟩|\alpha\rangle，非对角矩阵元为：

    ⟨α∣Si+Sj−∣α′⟩=12δα,α′ with Si+Sj−, \langle \alpha | S_i^+ S_j^- | \alpha^{\prime} \rangle = \frac{1}{2} \delta_{\alpha, \alpha^{\prime} \text{ with } S_i^+ S_j^-},

    以及

    ⟨α∣Si−Sj+∣α′⟩=12δα,α′ with Si−Sj+, \langle \alpha | S_i^- S_j^+ | \alpha^{\prime} \rangle = \frac{1}{2} \delta_{\alpha, \alpha' \text{ with } S_i^- S_j^+},

    其中 α\alpha 和 α′\alpha^{\prime} 是通过翻转格点 ii 和 jj 上的自旋得到的态。

玻色-Hubbard 模型

玻色-Hubbard 模型描述晶格上具有在位相互作用和最近邻跃迁的玻色子。其哈密顿量为：

H=−t∑⟨i,j⟩(bi†bj+h.c.)+U2∑ini(ni−1)−μ∑ini, H = -t \sum_{\langle i,j \rangle} (b_i^\dagger b_j + \text{h.c.}) + \frac{U}{2} \sum_i n_i (n_i - 1) - \mu \sum_i n_i,

其中：

  • tt 为跃迁幅度，
  • UU 为在位相互作用强度，
  • μ\mu 为化学势，
  • bi†b_i^\dagger 和 bib_i 为格点 ii 上的玻色产生算符和湮灭算符，
  • ni=bi†bin_i = b_i^\dagger b_i 为粒子数算符，
  • ⟨i,j⟩\langle i,j \rangle 表示最近邻对。

玻色-Hubbard 哈密顿量 H\mathcal{H} 被分解为一组键算符 Hi,jH_{i,j}（对应跃迁）和 HiH_i（对应在位相互作用）：

H=−∑bHb, H = -\sum_b H_b,

其中 bb 标记键或格点。对于玻色-Hubbard 模型：

  • 跃迁项：Hi,j=t(bi†bj+bj†bi)H_{i,j} = t (b_i^\dagger b_j + b_j^\dagger b_i)，
  • 在位项：Hi=U2ni(ni−1)−μniH_i = \frac{U}{2} n_i (n_i - 1) - \mu n_i。

基矢的插入

在 SSE 方法中，配分函数以基矢 ∣α⟩|\alpha\rangle 和算符序列的形式展开。SSE 展开中的一个典型构型包括：

  1. 一个基矢 ∣α0⟩|\alpha_0\rangle（初始态）。
  2. 作用在该态上的一个算符序列 Hi,jH_{i,j}。

于是配分函数可以写为：

Z=∑α0∑n=0N(−β)nn!∑{Hi,j}⟨α0∣Hi1,j1Hi2,j2⋯Hin,jn∣α0⟩, Z = \sum_{\alpha_0} \sum_{n=0}^N \frac{(-\beta)^n}{n!} \sum_{\{H_{i,j}\}} \langle \alpha_0 | H_{i_1,j_1} H_{i_2,j_2} \cdots H_{i_n,j_n} | \alpha_0 \rangle,

其中 NN 是展开阶数的截断，{Hi,j}\{H_{i,j}\} 表示由 nn 个算符组成的序列。算符的矩阵元在基矢中计算，并且算符序列必须满足末态与初态 ∣α0⟩|\alpha_0\rangle 相同的条件。

SSE 算法的步骤

  1. 初始化：从一个初始态 ∣α⟩|\alpha\rangle 和一个空的算符序列开始。
  2. 算符插入：提议在序列中插入或移除对角算符 Hi,jH_{i,j}，并相应地更新态 ∣α⟩|\alpha\rangle。
  3. 对角更新：确保算符序列与哈密顿量及基矢相容。
  4. 环更新：执行非局域更新以提高采样效率，通常采用针对自旋或其他玻色模型量身定制的团簇或环算法 2 3 4。
  5. 测量：通过对采样构型求平均，计算能量、磁化强度和关联函数等物理量。

SSE 方法对海森堡模型特别有利，因为它在某些几何结构（例如二分晶格）上不存在符号问题，并且在低温区和高温区都能高效采样。它已被成功应用于研究广泛的现象，包括量子相变、自旋动力学以及玻色系统。

  1. Sandvik, A. W., “Stochastic Series Expansion Method with Operator-Loop Update”, Physical Review B, 59, R14157-R14160 (1999). ↩︎

  2. Syljuåsen, O. F. and Sandvik, A. W., “Quantum Monte Carlo with Directed Loops”, Physical Review E, 66, 046701 (2002). ↩︎

  3. Pollet, L., et al., “Optimal Monte Carlo Updating”, Physical Review E, 70, 056705 (2004). ↩︎

  4. Alet, F., et al., “Generalized Directed Loop Method for Quantum Monte Carlo Simulations”, Physical Review E, 71, 036706 (2005). ↩︎

基于 SSE 的有向环算法蠕虫算法