团簇更新

在系统的临界温度 $T_c$ 附近，系统表现出长程关联，由于临界慢化，局域更新方法变得低效。在模拟过程中，局域更新的提议总是被拒绝，系统似乎被困在某个特定的状态构型中。团簇更新算法通过在一步之内翻转大的自旋团簇来解决这一问题，使系统能够更有效地探索构型空间。

Wolff 算法

Wolff 算法是一种团簇更新方法，旨在克服伊辛模型中的临界慢化。它根据自旋的取向构建自旋团簇，并将其整体翻转，从而保证在临界温度附近的高效采样。

Wolff 算法的关键步骤：

1. 选择种子自旋：

   • 从晶格中随机选择一个种子自旋 $s_i^z$。

2. 构建团簇：

   • 对种子自旋的每个近邻 $s_j^z$，若 $s_j^z = s_i^z$，则以如下概率将其加入团簇： $$P_{\text{add}} = 1 - e^{-2 \beta J},$$ 该概率依赖于温度和相互作用强度 $J$。

3. 翻转团簇：

   • 团簇构建完成后，翻转团簇中的所有自旋（即对团簇中所有自旋执行 $s_i^z \to -s_i^z$）。

4. 重复：

   • 将该过程重复许多个蒙特卡洛步，以保证对构型空间的充分采样。

Wolff 算法的优点：

• 高效：Wolff 算法通过同时翻转大的自旋团簇，显著减轻了临界慢化。
• 细致平衡：该算法满足细致平衡，保证系统向正确的平衡分布演化。
• 无需调参：与 Metropolis-Hastings 算法不同，Wolff 算法不需要调节步长之类的参数。

Wang-Landau 算法

Wang-Landau 算法是一种直接估计系统态密度 $g(E)$ 的蒙特卡洛方法，从而可以在很宽的能量和温度范围内计算热力学量。它对于具有复杂能量景观的系统特别有用。

Wang-Landau 算法的关键步骤：

1. 初始化态密度：

   • 从态密度 $g(E)$ 的一个粗略估计开始，通常对所有能量都设为 $1$。

2. 在能量空间中进行随机游走：

   • 使用蒙特卡洛过程（例如 Metropolis 或 Wolff 更新）探索能量空间。以如下概率接受移动： $$P_{E_1 \to E_2} = \min\left(1, \frac{g(E_1)}{g(E_2)}\right).$$

3. 更新态密度：

   • 每次移动之后，更新态密度： $$g(E) \to g(E) \cdot f,$$ 其中 $f > 1$ 是修正因子（初始时 $f = e$）。

4. 改进估计：

   • 重复该过程，并逐步减小修正因子 $f$（例如 $f \to \sqrt{f}$），直到 $g(E)$ 收敛到真实的态密度。

5. 计算热力学量：

   • 一旦得到 $g(E)$，就可以计算配分函数、自由能和比热等热力学量。

Wang-Landau 算法的优点：

• 直接估计 $g(E)$：该算法提供了一种直接计算态密度的方法，从而可以在很宽的温度范围内研究热力学性质。
• 高效：Wang-Landau 算法对于具有复杂能量景观的系统特别有效，而传统方法在这类系统上可能会遇到困难。
• 无需先验知识：该算法不需要事先了解系统的能量分布。