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ALPS 中的方法
经典蒙特卡洛模拟
简介

简介

经典蒙特卡洛（MC）模拟是一种强大且被广泛使用的计算技术，用于研究物理系统的统计力学。由于依赖随机采样，该方法以著名的蒙特卡洛赌场命名，特别适合研究具有大量自由度、往往难以得到解析解的系统。蒙特卡洛模拟基于随机过程和概率规则，可以用来探索物理系统的平衡性质、相变和热力学行为。

经典蒙特卡洛模拟的核心是重要性采样的概念：按照某个概率分布生成系统的构型，在正则系综中该分布通常是玻尔兹曼分布。通过按照构型的统计权重成比例地进行采样，蒙特卡洛方法能够计算能量、磁化强度或关联函数等物理量的系综平均，而无需显式地枚举系统所有可能的状态——这一任务在计算上往往是不可行的。

蒙特卡洛模拟的关键原理

各态历经性

蒙特卡洛模拟的一个基本要求是各态历经性，它保证在足够长的时间内，模拟能够探索系统的整个构型空间。换言之，系统的每一个可能状态都必须能够通过一系列蒙特卡洛移动到达。如果不满足各态历经性，模拟可能会被困在构型的某个子集中，从而导致有偏差的结果。保证各态历经性往往需要仔细设计蒙特卡洛移动，尤其是对于具有复杂能量景观的系统。

细致平衡

蒙特卡洛模拟的另一个关键原理是细致平衡，它保证系统向平衡态演化，并按照所需的概率分布（例如玻尔兹曼分布）对状态进行采样。细致平衡这一条件要求状态之间的跃迁概率满足：

Pi⋅Pi→j=Pj⋅Pj→i, P_i \cdot P_{i \to j} = P_j \cdot P_{j \to i},

其中 PiP_i 和 PjP_j 是状态 ii 和 jj 的平衡概率，Pi→jP_{i \to j} 是从状态 ii 到状态 jj 的跃迁概率。

Metropolis-Hastings 算法

Metropolis-Hastings 算法是最常用的蒙特卡洛技术之一，它根据一个依赖于能量变化和系统温度的概率判据来接受或拒绝所提议的移动，从而满足细致平衡。它利用马尔可夫链过程生成一系列构型，保证系统向平衡态演化。该算法包括以下步骤：

  1. 对系统提议一个随机改变（例如粒子位移或自旋翻转）。
  2. 计算与所提议移动相关的能量变化 ΔE\Delta E。
  3. 根据接受概率接受或拒绝该移动： Pi→j=min⁡(1,e−βΔE), P_{i \to j} = \min\left(1, e^{-\beta \Delta E}\right), 其中 β=1/(kBT)\beta = 1/(k_B T) 为逆温度。这一接受规则保证了细致平衡，并驱动系统趋向平衡态。

热浴算法

对于热浴算法，跃迁概率被显式地设计为满足这一条件。一个状态的平衡概率由玻尔兹曼分布给出：

Pi∝e−βEi, P_i \propto e^{-\beta E_i},

其中 EiE_i 是系统处于状态 ii 时的总能量。令从状态 ii 到状态 jj 的跃迁概率为

Pi→j=e−βEje−βEi+e−βEj, P_{i \to j} = \frac{e^{-\beta E_j}}{e^{-\beta E_i} + e^{-\beta E_j}},

相应地，从状态 jj 到状态 ii 的跃迁概率为

Pj→i=e−βEie−βEi+e−βEj. P_{j \to i} = \frac{e^{-\beta E_i}}{e^{-\beta E_i} + e^{-\beta E_j}}.

将跃迁概率代入细致平衡条件，得到：

Pi⋅Pi→j=e−βEi⋅e−βEje−βEi+e−βEj=e−βEj⋅e−βEie−βEi+e−βEj=Pj⋅Pj→i. P_i \cdot P_{i \to j} = e^{-\beta E_i} \cdot \frac{e^{-\beta E_j}}{e^{-\beta E_i} + e^{-\beta E_j}} = e^{-\beta E_j} \cdot \frac{e^{-\beta E_i}}{e^{-\beta E_i} + e^{-\beta E_j}} = P_j \cdot P_{j \to i}.

因此，热浴算法天然满足细致平衡。

局域更新