局域更新

在蒙特卡洛模拟中，系统状态通常通过局域更新进行采样，即根据单个格点的局域环境，每次更新一个格点的构型。我们将以伊辛模型为例，说明如何实现状态的采样。

伊辛模型的哈密顿量为：

其中：

• $J$ 是相邻自旋之间的相互作用强度，
• $\langle i,j \rangle$ 表示对最近邻对求和，
• $s_i^z=\pm 1$ 是格点 $i$ 上的自旋，
• $h$ 是外磁场。

蒙特卡洛模拟的步骤

1. 初始化系统

• 从一个自旋晶格开始（例如尺寸为 $L \times L$ 的二维正方晶格）。
• 随机初始化自旋（例如以相等概率取 $s_i^z = \pm 1$），或初始化为某个特定构型（例如所有自旋向上）。

2. 执行局域更新

局域更新可以采用 Metropolis-Hastings 算法或热浴算法。

Metropolis-Hastings 局域更新

对每个自旋 $s_i^z$：

1. 提议翻转：将自旋 $s_i^z$ 翻转为相反的值，$s_i^z \to -s_i^z$。
2. 计算能量变化：计算所提议的翻转引起的能量变化 $\Delta E$。对于伊辛模型，能量变化只依赖于自旋 $s_i^z$ 及其最近邻： $$\Delta E = 2 J s_i^z \sum_{j \in \text{neighbors}(i)} s_j^z + 2 h s_i^z.$$ 这里的求和遍历自旋 $s_i^z$ 的最近邻。
3. 接受或拒绝翻转： $$P_{\text{accept}} = \text{min}(1, e^{-\beta \Delta E}),$$ 其中 $\beta = 1/(k_B T)$ 为逆温度。这意味着
   • 若 $\Delta E \leq 0$，总是接受该翻转。
   • 若 $\Delta E > 0$，以概率 $e^{-\beta \Delta E}$ 接受该翻转。
   • 若翻转被拒绝，则保持自旋不变。

热浴局域更新

另外，也可以使用热浴算法进行局域更新。对每个自旋 $s_i^z$：

1. 计算局域场：作用在自旋 $s_i^z$ 上的局域场为： $$h_i = -J \sum_{j \in \text{neighbors}(i)} s_j^z - h.$$
2. 采样新的自旋状态：自旋 $s_i^z$ 以如下概率更新为 $+1$ 或 $-1$： $$P_{ -1 \to +1} = \frac{e^{-\beta h_i}}{e^{-\beta h_i} + e^{\beta h_i}},$$ $$P_{ +1 \to -1} = \frac{e^{\beta h_i}}{e^{-\beta h_i} + e^{\beta h_i}}.$$ 这些概率保证了在给定局域环境下，自旋是从其平衡分布中采样得到的。

3. 重复多次扫描

• 一次扫描指对晶格中的每个自旋都尝试更新一次。
• 将局域更新过程重复多次扫描，使系统达到平衡并收集统计数据。