测量

系统达到平衡之后，我们就可以测量能量、磁化强度以及各种磁化率等物理量。然而，要准确测量物理量，需要仔细考虑自相关以及独立样本的生成。自相关是指在不同蒙特卡洛步上进行的测量之间的关联，它会导致有偏的估计以及被低估的误差。生成独立样本可以保证测量结果在统计上是有意义的。

物理量的自相关

1. 自相关函数

自相关函数 $C_A(t)$ 度量物理量 $A$ 相隔时间间隔 $t$（以蒙特卡洛步计）的两次测量之间的关联：

其中 $\langle A_k A_{k+t} \rangle$ 是相隔 $t$ 步的两次测量之积的平均值。

2. 自相关时间

自相关时间 $\tau_A$ 刻画了自相关函数衰减的快慢。其定义为：

在实际中，$\tau_A$ 通过将 $C_A(t)$ 拟合为指数衰减来估计：

3. 自相关的影响

自相关会减少独立样本的有效数目，导致统计误差被低估。为此，测量量 $A$ 的误差修正为：

其中 $\text{Var}(A)$ 是 $A$ 的方差，$N_{\text{eff}}$ 是独立样本的有效数目：

• $\text{Var}(A)$ 是 $A$ 的方差，定义为： $$\text{Var}(A) = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2,$$ 其中 $\langle A^2 \rangle$ 是测量值平方的平均值，$\langle A \rangle$ 是测量值的平均值。
• $N_{\text{eff}}$ 是独立样本的有效数目： $$N_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{meas}}}{1 + 2 \tau_A}.$$

生成独立样本

1. 间隔测量

为了减小自相关，测量之间的间隔应至少为自相关时间 $\tau_A$。这样可以保证相继的测量近似独立。例如，若 $\tau_A = 10$，则应每隔 10 个蒙特卡洛步进行一次测量。

2. 分块方法

分块方法是一种通过将测量分组为若干块来生成独立样本的技术。每一块都应大于自相关时间。每一块的平均值被视为一个独立样本，并用这些块平均值的方差来估计误差。

3. 并行回火

对于动力学缓慢的系统，可以使用并行回火来生成独立样本。其做法是在不同温度下同时运行多个模拟，并周期性地在它们之间交换构型。这种交换有助于系统更高效地探索构型空间。

物理量

下面给出伊辛模型的一些物理量示例。对于不同的模型，需要考虑不同的物理量。

磁化强度：

其中 $N$ 是自旋的总数。

能量：

磁化率：

磁化率 $\chi$ 度量系统磁化强度对外磁场的响应。其定义为：

其中 $\langle M \rangle$ 是平均磁化强度，$h$ 是外磁场。在蒙特卡洛模拟中，$\chi$ 由磁化强度 $M$ 的涨落通过以下公式计算：

其中：

• $\beta = 1/(k_B T)$ 为逆温度，
• $N$ 是自旋的总数，
• $\langle M \rangle$ 是平均磁化强度，
• $\langle M^2 \rangle$ 是磁化强度平方的平均值。

比热：

比热 $C$ 度量系统的热容，即改变系统温度所需的能量。其定义为：

其中 $\langle E \rangle$ 是系统的平均能量。

在蒙特卡洛模拟中，$C$ 由能量 $E$ 的涨落通过以下公式计算：

其中：

• $\beta = 1/(k_B T)$ 为逆温度，
• $N$ 是自旋的总数，
• $\langle E \rangle$ 是平均能量，
• $\langle E^2 \rangle$ 是能量平方的平均值。