Hubbard 模型

简介

按照普通的能带理论，电子在格子上跃迁本应简单地扩展开来，以最小化其动能。但当两个电子试图占据同一个原子轨道时，它们也会感受到彼此之间完整的库仑排斥。Hubbard 模型在普通的单粒子跃迁之上，只保留了电子-电子相互作用中这一个最本质的部分——任何双占据格点都要付出的能量代价 $U$ ——从而成为格子上相互作用电子的最简单模型。在冷原子和光晶格研究领域，它常被称为 Fermi-Hubbard 模型，以便与其玻色版本、即 Bose-Hubbard 模型明确区分开来——这两个模型都可以用囚禁在光晶格中的超冷原子在实验上实现，区别仅在于所用原子的量子统计性质。尽管（或者说正因为）如此简单，它却捕捉到了凝聚态物理中一些最重要的现象：Mott 金属-绝缘体转变、巡游磁性，以及在其掺杂后的低能极限下，被认为是铜氧化物高温超导背后物理机制的一部分。

这一模型在 1963 年由多个研究组各自独立提出，其中 John Hubbard 的论文使这一模型得名。关于现代综述，模型的解析方面可参见 Arovas, Berg, Kivelson, and Raghu (2022)，专门针对求解该模型所用数值方法的综述可参见 Qin, Schäfer, Andergassen, Corboz, and Gull (2022)。

自旋 1/2 费米子的单带 Hubbard 模型（最常被研究的情形）由如下哈密顿量给出

H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \left( c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma} + \text{h.c.} \right) + U \sum_i n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow} - \mu \sum_{i,\sigma} n_{i,\sigma},

其中：

$c_{i,\sigma}^\dagger$ 和 $c_{i,\sigma}$ 分别是在格点 $i$ 产生和湮灭自旋为 $\sigma$ （向上 $\uparrow$ 或向下 $\downarrow$ ）的费米子的算符，h.c. 表示厄米共轭，
$t$ 是相邻格点 $\langle i,j \rangle$ 之间的跃迁振幅，
$U$ 是在位相互作用能量，只有当某个格点被双占据时才需要付出（ $U>0$ ：排斥； $U<0$ ：吸引），
$n_{i,\sigma} = c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}$ 是格点 $i$ 上自旋 $\sigma$ 的数算符，
$\mu$ 是化学势，用于控制电子密度（填充度）。

因此每个格点可以容纳 0、1（自旋向上或向下）或 2（一上一下各一个）个电子。这正是 ALPS 模型库中内置的 fermion Hubbard 模型——完整参数列表参见模型参数术语表。动能项（有利于电子离域、呈能带行为）与相互作用项（有利于电子局域化，每个格点一个）之间的竞争——再加上由 $\mu$ 设定的密度以及温度——几乎决定了这个模型全部丰富的物理。

模型的物理

Mott 转变：相互作用如何击败能带理论。 普通的能带理论预言，半满能带（平均每个格点一个电子）总是金属，因为此时费米能级正好位于部分填充能带的中间。Hubbard 模型给出的最重要的一课是：这个预言完全可能是错的。在半填充情形下，一旦 $U$ 相对于带宽（ $\sim t$ ）足够大，任何电子跃迁到已被占据的相邻格点上都要付出巨大的能量 $U$ ，于是电子实际上不再移动，尽管能带理论断言它们不应该如此。这种由相互作用驱动、而非由能带结构驱动的金属-绝缘体转变称为 Mott 转变，其结果所形成的绝缘态——每个格点上都局域着一个电子——称为 Mott 绝缘体。

从 Hubbard 到 Heisenberg：超交换。 然而 Mott 绝缘体在磁学上并非死气沉沉。虽然在 $U$ 很大时真实的跃迁被禁止，但虚跃迁——电子短暂地跃迁到相邻格点又跳回来——却并不被禁止，普通的二阶微扰论表明，这一过程会使基态能量降低一个量级为 $t^2/U$ 的量。关键在于，泡利不相容原理只允许相邻两个电子在自旋相反时发生这种虚跃迁；如果它们自旋相同，这一跃迁则被彻底禁止，因为目标格点无法再接受第二个相同自旋的电子。这种不对称性意味着真实基态更倾向于让相邻自旋反向排列，于是在半填充且 $U/t$ 很大时，Hubbard 模型的有效低能描述恰好就是反铁磁的海森堡模型，交换耦合为

J = \frac{4t^2}{U}.

这一机制被称为超交换，是几乎所有 Mott 绝缘体（包括高温铜氧化物超导体的母体化合物）中反铁磁性的微观起源。

掺杂 Mott 绝缘体。 通过增加或移除电子而偏离半填充（即"掺杂"），会破坏上述简单的奈尔有序图像，并开启这一领域中最丰富、也最尚未有定论的物理。在大 $U$ 极限下，掺杂后的模型退化为 t-J 模型，反铁磁性、超导性以及各种电荷和自旋序（例如条纹相）之间由此产生的竞争，被普遍认为是理解铜氧化物高温超导的关键所在——尽管对这个看似简单得令人吃惊的哈密顿量已经研究了六十年，这个问题至今仍未完全解决。

现象

Mott 金属-绝缘体转变：在半填充时，系统在小 $U/t$ 下是金属，在大 $U/t$ 下是 Mott 绝缘体，二者之间存在一个转变（在有限温度下则是一个交叉）。
磁性：在 Mott 绝缘相中，超交换在半填充时产生反铁磁序；在偏离半填充或其他密度下，铁磁性以及更复杂的磁性序也是可能的。
超导性：对于吸引相互作用（ $U<0$ ），模型直接有利于电子配对；对于物理上更常见的排斥情形（ $U>0$ ），人们相信非常规（非声子媒介）超导会在掺杂 Mott 绝缘体时出现——这正是将这一模型与铜氧化物联系起来进行研究的核心动机。
掺杂、条纹相与非费米液体行为：偏离半填充时，模型可以呈现电荷/自旋条纹序、相分离，以及在某些区域中不符合普通金属费米液体图像的行为。

方法

在 ALPS 中具体而言：

方法	优点	局限性	应用
ED —— 参见 sparsediag / fulldiag	对小系统给出精确结果；能捕捉完整的多体谱	由于希尔伯特空间按 $4^N$ （每个格点 4 个态）增长，仅限于小型团簇	小系统基准；对称性分辨的谱
DMRG —— 参见密度矩阵重整化群	对一维及准一维（梯子）几何结构高度精确	对真正的二维/三维系统效率较低	Hubbard 链和梯子的基态与低能性质
DMFT —— 参见动力学平均场理论	非微扰地捕捉局域关联和 Mott 转变；在无穷维（例如 Bethe 晶格）中是精确的	忽略非局域（动量依赖）的关联和涨落	Mott 转变；局域谱函数；有限温度相图

与 ALPS 中其他自旋和玻色子模型不同，ALPS 中没有针对一般费米型 Hubbard 模型的格点量子蒙特卡罗程序：除了一些特殊情形（例如二分格子上的半填充，或一维情形）之外，臭名昭著的费米子符号问题会使直接的格点 QMC 在低温下计算代价极其高昂，而 ALPS 也没有包含行列式/辅助场 QMC 程序。取而代之，ALPS 的连续时间 QMC 算法（CT-HYB、CT-INT）被用作 DMFT 中的杂质求解器——关于这些求解器的全面综述，参见 Gull, Millis, Lichtenstein, Rubtsov, Troyer, and Werner (2011)——这也是为什么在 ALPS 中，DMFT 而非直接的格点 QMC，才是求解 Hubbard 模型的标准大规模方法。

若想了解这些方法、以及许多 ALPS 中未实现的其他方法（辅助场 QMC、宽圆柱上的 DMRG、图表蒙特卡罗等等），在同一个看似简单的二维正方格子 Hubbard 模型上彼此比较的结果如何，请参见 Simons Collaboration 的基准测试研究，该研究将大量最先进的数值方法相互交叉验证——这是理解关于这个模型哪些内容真正可靠、哪些尚不可靠的必读文献。

ALPS 的 DMFT 教程始终以 Hubbard 模型为例：

DMFT-01：DMFT 简介 —— 阐述将格点 Hubbard 模型映射为自洽量子杂质问题的 DMFT 近似
DMFT-02：CT-HYB 求解器、DMFT-03：CT-INT 求解器以及 DMFT-07：Hirsch-Fye 求解器 —— 分别用三种不同的杂质求解器，追踪 Bethe 晶格上 Hubbard 模型的金属-反铁磁绝缘体转变
DMFT-04：Mott 转变 —— 作为 $U$ 的函数的顺磁 Mott 转变
DMFT-06：顺磁金属与外推误差 —— 将 QMC 求解器与 Hirsch-Fye 和精确对角化进行基准比较
DMFT-08：设定特定的格子 —— 从 Bethe 晶格推广到正方、立方和六方格子
DMFT-09：单格点 DMFT 中的奈尔转变 —— 用全部三种求解器比较反铁磁奈尔转变
Bethe 晶格上 Hubbard 模型的 DMFT（Jupyter notebook） —— 同一 Bethe 晶格 DMFT 计算的交互式介绍

除了 DMFT 之外，ED-06：完全对角化还将小型正方格子上的 Hubbard 模型作为附加练习，利用对称性（动量和粒子数）使计算变得可行。

关于 ALPS 中其他模型的概览，参见 ALPS 中的模型。

无自旋费米子模型 t-J 模型