Anderson 杂质模型

简介

本节到目前为止讨论的每一个模型——Hubbard 模型、t-J 模型、海森堡模型——描述的都是整个由相互作用格点构成的格子。Anderson 杂质模型则完全不同：它描述的是单个关联轨道——“杂质”——与一个连续的、原本无相互作用的传导电子库耦合的问题。它是量子杂质物理的基础模型，并且通过动力学平均场理论，它也是格点 Hubbard 模型在计算上的核心所在。

这一模型由 P. W. Anderson (1961) 提出，用以解释稀磁合金中的一个谜题：为什么某些溶入非磁性宿主金属中的过渡金属杂质（例如 Fe 或 Mn）会形成稳定的局域磁矩，而另一些则不会。Anderson 的回答是：这本身就是一个强关联多体问题，由杂质自身的库仑排斥与它同周围传导电子的杂化之间的竞争所决定——这正是驱动格点 Hubbard 模型 Mott 物理的那种竞争的缩影。

哈密顿量由三部分组成：

其中：

• $d_\sigma^\dagger, d_\sigma$ 是在杂质轨道上产生和湮灭自旋为 $\sigma$ 的电子的算符，在位能量为 $\varepsilon_d$，占据该轨道的相反自旋电子之间存在库仑排斥 $U$（与 Hubbard 模型中完全相同，只不过现在只有一个格点），
• $c_{k\sigma}^\dagger, c_{k\sigma}$ 产生和湮灭库态 $k$ 中无相互作用的传导电子，色散关系为 $\varepsilon_k$，
• $V_k$ 是杂化矩阵元，使电子能够在杂质与库态 $k$ 之间跃迁。

对杂质的物理性质而言，实际起作用的只是库参数的一种组合：杂化函数 $\Delta(\omega) = \sum_k |V_k|^2/(\omega - \varepsilon_k)$，它概括了杂质从库中"感受"到的一切，而不涉及任何特定的微观库实现细节。这正是使该模型变得可处理的关键结构性事实，也正是动力学平均场理论在把格点模型映射为一个等效单杂质问题时，自洽确定的那个对象：DMFT 用一个 Anderson 杂质模型来代替格点 Hubbard 模型，并不断调整其杂化函数 $\Delta(\omega)$，直到杂质的局域格林函数与原始格点问题的局域格林函数相匹配为止。

模型的物理

局域磁矩何时形成？ 在他 1961 年的原始论文中，Anderson 用一个自洽平均场论证回答了这个问题。若 $U = 0$，杂质能级只是与库发生杂化，展宽成一个宽度约为 $\pi \rho_0 |V|^2$ 的共振（$\rho_0$ 为库的态密度）——此时没有偏好的自旋方向，也没有磁矩。打开 $U$ 后，杂质单占据（无论哪种自旋）比双占据或空置更为有利；一旦 $U$ 相对于杂化宽度足够大，杂质就会稳定在单占据的局域磁矩状态：一个与周围传导电子弱耦合的有效自旋 1/2 自由度，而不再是巡游电子气体的一部分。

Kondo 效应：屏蔽局域磁矩。 一个自由的局域磁矩本应表现为一个独立的、遵从居里定律的顺磁杂质，直到 $T=0$ 都是如此。但事实并非如此：在一个特征性的 Kondo 温度 $T_K$ 以下，周围的传导电子会逐渐屏蔽杂质自旋，二者结合成一个集体的多体单态基态。这就是 Kondo 效应，它是一个真正非微扰的现象——$T_K$ 以指数方式依赖于耦合强度，$T_K \sim D\, e^{-1/(\rho_0 J)}$（$D$ 为库的带宽，$J$ 是下文将要介绍的有效交换耦合），因此任何有限阶的相互作用微扰论都无法捕捉到它。这一效应在被理解之前几十年就已经在实验上被发现：人们早就知道，稀磁合金在低温下会出现令人费解的电阻升高（而非预期中的下降），Kondo (1964) 指出，这一电阻极小值正是杂质自旋与传导电子之间交换耦合的三阶微扰论的直接结果——而这一计算在 $T\to 0$ 时会出现对数发散，恰恰说明微扰论本身在此失效，必须由一个新的、强耦合的低温态来接管。

从 Anderson 到 Kondo。 在局域磁矩区域，杂质上的电荷涨落（虚的双占据或完全清空）能量很高，可以被积掉——正如双占据在 Hubbard 模型中被积掉从而产生 t-J 模型一样。完成这一步——即 Schrieffer-Wolff 变换（Schrieffer and Wolff (1966)）——把 Anderson 哈密顿量转化为（单杂质）Kondo 模型，即局域磁矩与杂质格点处传导电子自旋密度之间的纯自旋交换相互作用 $H_K = J\, \mathbf{S}_{\text{imp}} \cdot \mathbf{s}(0)$，其中 $J \sim V^2/U > 0$ 自动为反铁磁性。只要存在一个良好形成的局域磁矩，Anderson 模型与 Kondo 模型描述的就是同一套低能物理；Anderson 模型是更完整的微观出发点，而 Kondo 模型则是一旦电荷涨落不再重要时更简单的有效理论。

精确求解 Kondo 问题。 由于 $T_K$ 是一个非微扰的、指数级小的能标，可控的近似很难构造，其定论性的解直到 Wilson 的数值重整化群（NRG）才得以给出——这是重整化群方法首次、也是最著名的一次应用于真正非微扰量子多体问题，清楚地展示了系统如何从高能标下弱耦合的局域磁矩，流向低能标下被完全屏蔽的强耦合费米液体。

从单个杂质到晶格。 一个由 Anderson 杂质构成的周期性晶格——每个杂质耦合到自己的传导带，彼此之间仅通过共享的传导电子间接耦合——是这一模型自然的多杂质推广。在局域磁矩区域，在每个格点上都施加 Schrieffer-Wolff 变换，就恰好得到本节别处已经介绍过的 Kondo 晶格模型——这是与重费米子材料相关的模型，其中同样的局域磁矩形成与 Kondo 屏蔽之间的竞争，不再发生于单个孤立的格点，而是在整个晶格上相干地展开。

现象

• 局域磁矩的形成：杂质是否携带一个稳定的、未配对的自旋，本身就是一个非平庸的阈值现象，由 $U$ 与杂化宽度之比所决定——这正是 Anderson 1961 年论文试图回答的核心问题。
• Kondo 效应与电阻极小值：在 $T_K$ 以下，局域磁矩被传导电子逐渐屏蔽，历史上最初是作为稀磁合金电阻在低温下反常升高的现象被发现的。
• 普适的低能费米液体：一旦 $T \ll T_K$，杂质被完全屏蔽，系统流向一个普适的、强耦合的费米液体不动点，其低能性质（例如 Wilson 比）对该模型的任何微观实现都是相同的——这是强关联量子系统中普适性的一个极其清晰的例子。
• 混合价：当杂质能级 $\varepsilon_d$ 靠近费米能级，而非深埋于费米能级之下时，杂质会在不同的电荷（价态）之间涨落，而不是稳定在一个良好定义的局域磁矩上，这给出了与 Kondo 区域不同、但又与之相关的物理。
• 重费米子物理：整个杂质晶格上的相干 Kondo 屏蔽（参见 Kondo 晶格模型）会产生有效质量可达裸电子质量数百倍的准粒子，这正是重费米子化合物的标志性特征。

方法

历史上，单杂质 Kondo 问题的定论性解来自 Wilson 的数值重整化群，但 ALPS 并未实现这一方法。在 ALPS 内部，Hubbard 模型页面中的 DMFT 教程，从这个角度看，其实已经是 Anderson 杂质模型实际运作的一次向导之旅，因为其中每一个教程都会在 DMFT 自洽循环的内层反复求解一次 Anderson 杂质问题。

关于 ALPS 中其他模型的概览，参见 ALPS 中的模型。