伊辛模型 – ALPS Software Package

伊辛模型

简介

伊辛模型是最简单、也是影响最深远的磁性模型，也是统计力学中被研究得最多的模型之一。设想一个规则的格子，每个格点上都有一个只能指向上或下的"箭头"（自旋）——没有中间状态。每个自旋都倾向于与其最近邻自旋对齐（或者，根据相互作用符号的不同，反向排列），而热噪声则不断试图使自旋随机化。这两种效应——来自相互作用的有序倾向与来自温度的无序倾向——之间的竞争，正是这个模型如此丰富的原因：在低温下，自旋会锁定在一个共同的方向上；在高温下，它们各自独立涨落；而在两者之间，系统会经历一次真正的相变。

这个模型以 Ernst Ising 的名字命名，他在 1925 年的博士论文中求解了一维情形（Ising (1925)）——这个问题是他的导师 Wilhelm Lenz 提出的。Ising 发现，在一维情形下，任何非零温度下都不存在相变：热涨落总会最终破坏有序。又过了二十年，Lars Onsager 才在 1944 年严格求解了二维模型（Onsager (1944)），证明二维情形下确实存在相变——这是理论物理中最著名的成果之一，也是伊辛模型至今仍是检验新方法和新算法的标准试金石的原因。关于该模型更全面的介绍和历史，参见维基百科条目。

经典伊辛模型的哈密顿量为

\mathcal{H} = J \sum_{\langle i,j \rangle} S_i^z S_j^z + h \sum_i S_i^z

其中：

$S_i^z, S_j^z \in \{+1, -1\}$ 是表示格点 $i$ 、 $j$ 上自旋"向上"或"向下"的经典变量——由于这是一个经典统计力学模型，它们不是量子算符，
$J$ 是相邻自旋之间的相互作用强度：当 $J > 0$ 时耦合是反铁磁性的（相邻自旋倾向于指向相反方向），当 $J < 0$ 时耦合是铁磁性的（相邻自旋倾向于对齐），
$h$ 是外加磁场，偏向其中一个自旋方向，
求和 $\langle i,j \rangle$ 遍历格子上所有最近邻自旋对。

如果把经典变量 $S_i^z$ 替换为量子自旋 1/2 算符，并沿 $x$ 方向加上一个场，就得到横场伊辛模型——一个与之密切相关、但真正具有量子性质的模型。

现象

伊辛模型已被应用于极其广泛的物理体系和现象，远远超出了它最初研究磁性的动机。

铁磁性：当 $J < 0$ 时，自旋倾向于沿同一方向排列，即使在零场下，低温时也会出现自发的宏观磁化。
反铁磁性：当 $J > 0$ 时，自旋倾向于交替排列，结果是没有净磁化，但存在很强的局域（交错）有序。
相变：在二维或更高维度中，模型在某个临界温度 $T_c$ 处会发生相变：从高温下的无序（顺磁）相——此时平均磁化 $m = \langle S_i^z \rangle$ 为零——过渡到低温下 $m \neq 0$ 的有序相。这一相变是连续的（二级相变）：当温度从高于 $T_c$ 降到低于 $T_c$ 时， $m$ 是从零平滑增长的，而不是发生不连续的跃变。
维度很关键：一维链根本没有有限温度下的相变——真正的有序只在 $T=0$ 时出现。二维正方格子模型确实存在相变，并且已被 Onsager 严格求解；三维情形则没有已知的严格解，其临界指数必须通过数值方法（例如蒙特卡罗）或重整化群来获得。
普适性：许多截然不同的物理体系——磁体、发生有序-无序转变的二元合金，乃至液气临界点（通过等价的"格气"表述）——在各自的相变附近，与伊辛模型共享完全相同的临界指数。这种临界行为的普适性，是研究伊辛模型所得到的最重要的思想之一。

方法

不加磁场的伊辛模型在一维和二维中可以严格求解（见上文），但在这些特殊情形之外，以及为了直接研究有限尺寸系统，数值方法是必不可少的。下面总结了 ALPS 中可用的关键数值技术：

方法	优点	局限性	应用
经典蒙特卡罗，局域（Metropolis）更新 —— 参见局域更新	实现简单；几乎适用于任何经典自旋模型	临界慢化：在 $T_c$ 附近，相邻构型高度关联，导致自关联时间发散，收敛变得非常缓慢	通用采样；远离临界点的系统
团簇算法（Wolff、Swendsen-Wang）—— 参见团簇更新	一次翻转整簇取向相同的自旋，大幅降低临界慢化；在 $T_c$ 处依然高效	实现更复杂；对无外场的模型效果最佳	精确研究临界现象；有限尺寸标度

ALPS 的经典蒙特卡罗程序 spinmc 对伊辛模型及相关经典自旋模型同时实现了局域更新和团簇更新——算法细节参见经典蒙特卡罗相关页面。

由于任何模拟都无法研究无限大的格子，实际提取 $T_c$ 和临界指数依赖于有限尺寸标度。在相变附近，诸如磁化率或关联长度这样的量在无限系统中原本会发散，但在线度为 $L$ 的有限格子上，一旦关联长度增长到与 $L$ 相当，这种发散就会被截断——因此磁化率等量出现的（表观）峰值会被抹平，并偏离真实的 $T_c$ ，偏离量随着 $L$ 增大以一种普适的、可预测的方式减小。通过模拟若干不同的格子尺寸，比较磁化、磁化率、Binder 累积量等量在（表观）相变附近如何依赖于 $L$ ，就可以外推到热力学极限（ $L \to \infty$ ），从而精确地读出临界温度和临界指数——尽管每一次具体的模拟都必然是有限的。

以下三个教程完整地演示了如何用 spinmc 模拟二维伊辛模型：

MC-01(a)：经典蒙特卡罗模拟与自关联 —— 介绍该模型，并展示在 $T_c$ 附近使用局域更新时自关联时间如何急剧增长
MC-01(b)：经典蒙特卡罗模拟与热化/收敛 —— 诊断模拟是否已经热化并收敛
MC-07：伊辛模型中的相变 —— 使用有限尺寸标度提取临界温度和临界指数

关于 ALPS 中其他模型的概览，参见 ALPS 中的模型。

横场伊辛模型