Kondo 晶格模型

简介

Kondo 晶格模型（KLM）是 Anderson 杂质模型的周期性、多杂质推广：不再是单个局域磁矩嵌入传导电子海中，而是整个晶格的局域磁矩——通常每个格点一个，来自稀土或锕系化合物中部分填充的 $f$ 轨道——耦合到一个共享的传导电子海。它是重费米子材料的标准最简模型，在其中，杂质页面中介绍的磁有序与 Kondo 屏蔽之间的竞争，如今在整个晶格上相干地展开。

这一模型，以及使其变得可处理的物理图像，由 Doniach (1977) 提出。哈密顿量为

H = \sum_{k,\sigma} \varepsilon_k c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} + J \sum_i \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{s}_i,

其中 $c_{k\sigma}^\dagger, c_{k\sigma}$ 产生和湮灭动量为 $k$ 、自旋为 $\sigma$ 、色散关系为 $\varepsilon_k$ 的传导电子， $\mathbf{S}_i$ 是格点 $i$ 处的局域自旋， $\mathbf{s}_i$ 是同一格点处传导电子的自旋密度， $J$ （通常为反铁磁性， $J>0$ ）是二者之间的交换耦合。正如单杂质 Kondo 模型通过 Schrieffer-Wolff 变换从 Anderson 杂质模型中导出一样，Kondo 晶格模型也以完全相同的方式，从周期 Anderson 模型——即格子上每个格点都有一个 Anderson 杂质——出发，在把每个格点的电荷涨落积掉之后得到。这一模型所需的双子格基（一种传导电子格点类型，一种局域自旋格点类型）的具体示例，已经在 ALPS 的格子基页面中给出。

模型的物理

两个相互竞争的能标：Doniach 图像。 正如Anderson 杂质模型页面所述，一个耦合到传导电子海的单一局域磁矩，会在 Kondo 温度 $T_K \sim D\,e^{-1/(2\rho_0 J)}$ 以下被屏蔽。但在晶格中，传导电子还会在不同局域磁矩之间媒介一种间接磁性交换，称为 RKKY 相互作用，其特征能标为 $T_{\text{RKKY}} \sim \rho_0 J^2$ 。Doniach (1977) 指出，这两个能标对耦合 $J$ 的依赖方式截然不同：在小 $J$ 时，幂律的 RKKY 能标超过指数级小的 Kondo 能标，因此局域磁矩会在 Kondo 屏蔽有机会发生之前就形成磁有序（通常为反铁磁性）；在大 $J$ 时，指数增长的 $T_K$ 最终会超过 $T_{\text{RKKY}}$ ，Kondo 屏蔽占据上风，基态转变为一个非磁性的、被完全屏蔽的重费米子态。调节 $J\rho_0$ 穿过这两个能标相交的那一点——即 Doniach 图——会驱动一次真正的磁性量子相变，而与之相关的重费米子量子临界点，是实际材料中量子临界性研究得最深入的例子之一。

相干屏蔽与重费米液体。 在 Doniach 图中被 Kondo 屏蔽的一侧，屏蔽并非独立地发生在每个格点上，而是在整个晶格上相干地进行，由此产生一个真正的费米液体——但其准粒子的有效质量可达裸电子质量的数百倍，因为每个准粒子在传播时如今都会"拖着"一个局域磁矩一起走。一个更微妙的进一步后果是，由此产生的费米面所包围的体积，把局域磁矩也算作巡游电子海的一部分（即"大"费米面），这与磁有序相中不包含这些磁矩的"小"费米面形成对比——这一区别在量子临界点本身处变得尤为微妙，至今仍是活跃的争论话题。

通向非常规超导的一条道路。 正如掺杂 Mott 绝缘体被认为会在 Hubbard 模型和 t-J 模型中驱动非常规超导一样，把重费米子化合物调节到其 Doniach 量子临界点附近，也常常会揭示出一个非常规超导的"穹顶"，人们认为它是由邻近磁有序背后的同一种磁涨落所媒介的，而非声子。第一个被发现的这类材料——重费米子超导体 CeCu $_2$ Si $_2$ （Steglich et al. (1979)）——同时也是第一个被证实其配对机制源于电子-电子相互作用、而非常规 BCS 理论中电子-声子耦合的超导体。

现象

Kondo 屏蔽：在低温下，每个局域自旋都被传导电子逐渐屏蔽成一个非磁性的 Kondo 单态，正如Anderson 杂质模型页面所述，只不过如今发生在整个晶格上。
重费米子行为：整个晶格上的相干屏蔽产生了有效质量被强烈增强的准粒子，这是重费米子化合物的标志性特征。
RKKY 驱动的磁有序：在小 $J\rho_0$ 时，传导电子媒介的 RKKY 相互作用战胜 Kondo 屏蔽，使局域磁矩产生反铁磁（较少见的情形下为铁磁）有序。
重费米子量子临界性：调节 $J\rho_0$ 、压力或磁场穿过 Doniach 转变，会驱动一次磁性量子相变，其附近常常伴随着反常的非费米液体行为。
非常规超导：在量子临界点附近，许多重费米子材料——从 CeCu $_2$ Si $_2$ 开始——都会出现被认为由磁性（而非声子）涨落所媒介的超导电性。

方法

方法	优点	局限性	应用
DMFT —— 参见动力学平均场理论	非微扰地捕捉 Kondo 屏蔽与 Doniach 竞争；ALPS 自身的杂化展开求解器最初正是在这个模型上被开发和演示的（Werner and Millis (2006)）	只有在无穷维时才是精确的；忽略了驱动磁有序波矢的 RKKY 相互作用的动量依赖性	Kondo 屏蔽与磁有序之间的 Doniach 竞争；另见 Georges, Kotliar, Krauth, and Rozenberg (1996) 撰写的一般性 DMFT 综述
ED —— 参见 sparsediag / fulldiag	对小型团簇给出精确结果	由于希尔伯特空间同时包含传导电子和局域自由度，仅限于小型团簇	小团簇基准测试
DMRG —— 参见密度矩阵重整化群	对一维 Kondo 链和梯子高度精确	对真正的二维/三维系统效率较低	一维 Kondo 晶格链的基态

与 Hubbard 模型一样，除了特殊的、无符号问题的情形外，ALPS 中没有针对一般 Kondo 晶格模型的格点量子蒙特卡罗程序：它是一个真正意义上的费米型格点问题，DMFT（而非直接的格点 QMC）是 ALPS 中可用的标准大规模方法。目前没有专门针对这一模型的 ALPS 教程，但格子基页面展示了如何在 ALPS 模型 XML 格式中定义其双子格结构，而 Hubbard 模型页面中的 DMFT 教程则是了解底层 DMFT 机制的自然起点。

关于 ALPS 中其他模型的概览，参见 ALPS 中的模型。

Bose-Hubbard 模型