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ALPS 中的模型
t-J 模型

t-J 模型

简介

t-J 模型是把Hubbard 模型中"双占据要付出很大能量 UU“这一条件，直接换成"双占据被彻底禁止"之后剩下的模型。正如 Hubbard 模型页面所展示的，把大 UU 极限下的 Hubbard 模型按 t/Ut/U 展开，最低阶就会给出相邻自旋之间的反铁磁超交换耦合 J=4t2/UJ = 4t^2/U；t-J 模型保留了这个超交换项，再加上普通的跃迁项，但现在限定在每个格点最多容纳一个电子的希尔伯特空间中。它是描述掺杂 Mott 绝缘体——即在 Mott 绝缘体（参见 Hubbard 模型页面）中加入少量可移动的空穴或额外电子——的标准最简模型，并被广泛用于描述铜氧化物高温超导体的低能物理。

由于双占据被禁止，每个格点只能为空，或者被一个自旋向上或向下的电子占据——即每个格点有三种状态，而非不受限制的 Hubbard 模型中的四种。哈密顿量为

H=−t∑⟨i,j⟩,σ(c~i,σ†c~j,σ+h.c.)+J∑⟨i,j⟩(Si⋅Sj−ninj4), H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \left( \tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger \tilde{c}_{j,\sigma} + \text{h.c.} \right) + J \sum_{\langle i,j \rangle} \left( \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - \frac{n_i n_j}{4} \right),

其中：

  • c~i,σ†\tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger 和 c~i,σ\tilde{c}_{i,\sigma} 是普通的费米子产生和湮灭算符，但经过投影以排除双占据——如果某次跃迁会在已被占据的格点上再放入一个电子，这次跃迁就直接不被允许，
  • tt 是最近邻格点 ⟨i,j⟩\langle i,j \rangle 之间的跃迁振幅，
  • JJ 是相邻自旋之间的反铁磁交换耦合——正是 Hubbard 模型页面中介绍的那个超交换耦合，因此每当把 t-J 模型当作大 UU Hubbard 模型的替代品时，就有 J=4t2/UJ = 4t^2/U，
  • Si\mathbf{S}_i 是格点 ii 处的自旋算符，ni=∑σc~i,σ†c~i,σn_i = \sum_\sigma \tilde{c}_{i,\sigma}^\dagger \tilde{c}_{i,\sigma} 是格点占据数（0 或 1），
  • −ninj/4-n_in_j/4 项恰好抵消了隐藏在 Si⋅Sj\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j 内部的密度-密度部分，使得上面这两项能够正确再现单占据相邻格点之间的超交换能量。

（从 Hubbard 模型出发、逐阶精确推导下去，在 t/Ut/U 的同一阶还会产生一个较小的三格点关联跃迁项；这一项通常被略去，上面这个哈密顿量——跃迁项加超交换项——就是通常所说的"t-J 模型”。）在恰好半填充时，没有空格点可供电子跃迁，动能项不起任何作用，模型精确退化为反铁磁的海森堡模型。因此，该模型所有独特的物理都来自掺入少量空穴（或额外电子）之后发生的事情。

关于这个受限的三态希尔伯特空间本身，参见格点基页面中已经给出的 t-J 模型示例，其中展示了在 ALPS 中标记这些态的两种等价方式。这一模型作为铜氧化物的有效描述，由 Anderson (1987) 和 Zhang and Rice (1988) 各自独立提出，前者将其与共振价键（RVB）物理和超导联系起来，后者则直接从铜氧化物平面的电子结构出发推导出该模型（见下文）。

模型的物理

单带从何而来：Zhang-Rice 单态。 真实的铜氧化物超导体并不是单带材料——它们的 CuO2_2 平面同时涉及铜的 3d3d 轨道和氧的 2p2p 轨道。Zhang and Rice (1988) 指出，掺杂到铜格点周围氧轨道上的一个空穴，会与该铜格点的自旋紧密束缚成一个局域自旋单态，而这个复合客体——Zhang-Rice 单态——在格点间跃迁、并与相邻铜自旋相互作用的方式，恰好就如同单带 t-J 模型中的一个空穴。这正是用上面这个简单的单带哈密顿量来处理复杂的多轨道铜氧化物的微观依据。

空穴在反铁磁背景中的运动。 考虑向未掺杂（半填充）模型的奈尔有序基态中掺入单个空穴。天真地看，一个自由空穴应当以量级为 tt 的带宽运动，就像普通紧束缚问题中的一个空格点那样。但空穴每跃迁一次，都会移动一个电子，使其自旋不再匹配周围的反铁磁排列，从而在身后留下一串取向错乱的自旋——这是一条"弦"状的磁性无序，空穴每偏离出发点一步，就要付出正比于 JJ 的能量代价。只有通过混合许多这样的弦构型，或者利用交换项 JJ 来修复受损的自旋背景，空穴才能重新获得一定的移动能力。最终结果是，空穴以量级为 JJ（而非 tt）的有效带宽传播，相对自由电子的数值被大幅重整化——这是强关联能够从根本上改变即便是最简单的单粒子性质（准粒子的运动）的最清晰例证之一。

共振价键与超导电性。 Anderson (1987) 提出，未掺杂的反铁磁体应当被理解为一种共振价键（RVB）态——即许多不同的自旋配对成单态键的方式的量子叠加，而不是传统的奈尔有序态——并且向这种 RVB 液体中掺入空穴，可以使单态键变为可移动的 Cooper 对，从而无需借助声子就能产生超导电性。这一想法，以及用于检验它的变分（Gutzwiller 投影 BCS）波函数，至今仍是把 t-J 模型与探索高温超导理论联系起来的核心线索之一。

与 Hubbard 模型的关系。 当 UU 相对于 tt 很大、且掺杂浓度（偏离半填充的空穴密度）很小时，t-J 模型正是 Hubbard 模型很好的有效描述；它彻底舍弃了高能的双占据涨落，而不仅仅是在能量上抑制它，这使得受限的希尔伯特空间更小，对某些方法而言比完整的 Hubbard 模型更容易处理——代价是不能再连续地过渡回弱相互作用、小 UU 的区域。

现象

  • 磁性：在半填充时，模型恰好就是反铁磁海森堡模型，具有海森堡模型页面所讨论的相同奈尔序和自旋波激发；掺杂会迅速抑制这种有序。
  • 空穴运动与自旋极化子：掺入的每个空穴都在反铁磁背景中运动，并被一团受扰动的自旋所"包裹"（见上文），其迁移率由 JJ（而非 tt）设定——这一现象可以通过铜氧化物材料中的角分辨光电子能谱（ARPES）直接探测到。
  • 高温超导：许多人相信，向类 RVB 的未掺杂态中掺杂会驱动非常规的、由自旋涨落媒介的超导配对，这使得 t-J 模型成为描述铜氧化物的主要最简模型之一。
  • 奇异金属/非费米液体行为：在一定的掺杂和温度范围内，模型可以表现出不符合传统金属费米液体描述的输运和谱学性质（例如与温度成线性关系的电阻率）。
  • 相分离：在小掺杂、小 J/tJ/t 时，由周围自旋背景所媒介的空穴间有效吸引，可能使空穴聚集在一起、而非均匀分布更为有利，从而导致相分离为富空穴区域和无空穴区域。

方法

方法优点局限性应用
ED —— 参见 sparsediag / fulldiag对小系统给出精确结果；无双占据约束是通过构造严格满足的，而非近似满足由于受限希尔伯特空间仍按 3N3^N 指数增长，仅限于小型团簇小团簇谱；单空穴动力学；用于检验其他方法
DMRG —— 参见密度矩阵重整化群对一维链和准一维梯子高度精确；约束同样被无额外代价地内置于局域希尔伯特空间中对真正的二维系统效率较低一维和准一维 t-J 系统的基态、空穴配对与自旋关联

与 Hubbard 模型一样，ALPS 中没有针对掺杂 t-J 模型的格点量子蒙特卡罗程序：一旦存在空穴，费米子符号问题只会比 Hubbard 模型更加严重，而 ALPS 也没有包含行列式 QMC 或变分蒙特卡罗（VMC）程序。Gutzwiller 投影变分波函数（检验 Anderson 的 RVB 想法的自然数值手段）以及局限于无符号问题的未掺杂或特殊填充极限的行列式 QMC，是更广泛文献中的标准工具，但在 ALPS 中并未实现。目前没有专门针对 t-J 模型的 ALPS 教程；格点基页面展示了如何在 ALPS 模型 XML 格式中定义其受限的希尔伯特空间，而 Hubbard 模型页面中的 DMFT 教程，则是在 ALPS 中探索其未受限的母模型的自然起点。

关于 ALPS 中其他模型的概览，参见 ALPS 中的模型。

Hubbard 模型Anderson 杂质模型