密度矩阵重整化群

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什么是密度矩阵重整化群？

密度矩阵重整化群（DMRG）由 Steven White 于 1992 年提出，迅速成为求解一维量子格点模型的首选方法。DMRG 在矩阵乘积态（MPS）的变分空间内寻找基态：

|\psi\rangle = \sum_{s_1, \ldots, s_L} A_1^{s_1} A_2^{s_2} \cdots A_L^{s_L} \, |s_1 s_2 \cdots s_L\rangle,

其中每个 $A_i^{s_i}$ 是维度至多为 $m \times m$ 的矩阵。整数 $m$ 称为键维数（bond dimension），控制近似的精度： $m = 1$ 对应乘积态，增大 $m$ 可以描述更多量子纠缠。

为什么这在一维情况下如此有效？局域哈密顿量的有能隙基态满足面积定律：任意连续格点块的纠缠熵都被一个与块大小无关的常数所限制。这意味着精确基态可以用具有适中固定 $m$ 的 MPS 很好地近似。对于 $S = 1/2$ 海森堡链（无能隙），纠缠熵仅对数增长，因此 $m \sim 100$ – $1000$ 通常就足够了。

DMRG 通过扫描（sweeping）优化矩阵 $A_i$ ：从链的一端出发，依次优化每个格点的矩阵（固定其余所有矩阵），然后从另一端扫回，重复直至收敛。每个优化步骤是一个小型本征值问题——远比 ED 所需的完整对角化便宜。DMRG 扫描的计算复杂度为 $O(L m^3 d)$ （ $d$ 为局域希尔伯特空间维数），而 ED 为 $O(d^L)$ 。对于 $L = 32$ 、 $d = 2$ ，ED 需要处理约 $2^{32} \approx 43$ 亿个状态；而 DMRG 在 $m = 100$ 下完全可行。

为什么选择开放边界条件？ DMRG 对开放边界条件（OBC）的链远比对周期边界条件（PBC）更高效。使用 PBC 时，纠缠结构绕链延伸，大约需要两倍的有效键维数才能达到相同精度。因此 OBC 是 DMRG 计算的标准选择。

物理模型

我们研究具有 $L = 32$ 格点和开放边界条件的 $S = 1/2$ 反铁磁海森堡链：

H = J \sum_{i=1}^{L-1} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_{i+1}, \quad J > 0.

与 $S = 1$ 链（具有 Haldane 能隙）不同， $S = 1/2$ 链是无能隙的：其低能谱形成 Tomonaga-Luttinger 液体（TLL），具有幂律关联。热力学极限下每个键的精确基态能量由 Bethe 拟设给出：

e_0 = \frac{1}{4} - \ln 2 \approx -0.4431\,J \quad \text{（每个键）}.

这是计算量子物理中研究最广泛的基准系统之一，也是学习 DMRG 的理想起点。

运行模拟

完整的设置、运行和分析可以放在一个 Python 脚本中：

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

parms = [ {
        'LATTICE'                  : "open chain lattice",   # 开放边界条件（更适合 DMRG）
        'MODEL'                    : "spin",
        'CONSERVED_QUANTUMNUMBERS' : 'N,Sz',                 # 利用 N 和 Sz 守恒进行分块对角化
        'Sz_total'                 : 0,                      # 目标 Sz=0 扇区（基态）
        'J'                        : 1,                      # 反铁磁交换
        'SWEEPS'                   : 4,                      # DMRG 扫描次数（左→右→左 = 1 次扫描）
        'NUMBER_EIGENVALUES'       : 1,                      # 仅求基态
        'L'                        : 32,                     # 链长
        'MAXSTATES'                : 100                     # 键维数 m（关键精度参数）
       } ]

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm_spin_one_half', parms)
res = pyalps.runApplication('dmrg', input_file, writexml=True)

参数说明

MAXSTATES 是最重要的精度参数，设定最大键维数 $m$ 。增大 $m$ 可提高精度，但计算时间以 $m^3$ 增长。对于这个 32 格点基准系统， $m = 100$ 可使截断误差远低于 $10^{-6}$ 。
SWEEPS 是完整扫描次数（左到右再返回）。这里用 4 次已足以演示收敛；生产计算通常需要 10–20 次，或扫描直至每次能量变化低于阈值。
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS: 'N,Sz' 告诉 DMRG 将总粒子数 $N$ 和总磁化强度 $S_z$ 作为好量子数，对 MPS 矩阵进行分块对角化，使计算更快且数值更稳定。
NUMBER_EIGENVALUES: 1 仅针对基态。增大此值可让 DMRG 同时针对最低的几个本征态，代价是额外的计算开销。

加载基态可观测量

模拟完成后，loadEigenstateMeasurements 提取 DMRG 代码测量的所有可观测量——包括能量、磁化强度、关联函数以及 ALPS 为最终收敛基态计算的其他物理量：

data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm_spin_one_half'))

for s in data[0]:
    print(s.props['observable'], ' : ', s.y[0])

data[0] 中的每个元素 s 对应一个可观测量。s.props['observable'] 是其名称（如 'Energy'、'Truncation error'），s.y[0] 是其值。使用上面的参数时只测量这两个量；磁化强度和关联函数需要 MEASURE_* 参数。对于这个 32 格点开放链，基态能量应接近 $E_0 \approx -13.9973\,J$ 。

为什么不是简单的 $32\,e_0$ ？ 开放链的两端贡献表面能，此外还有 $1/L$ 的有限尺寸修正：

E_0(L) \simeq L\,e_0 + e_s - \frac{\pi^2}{48\,L}, \qquad e_0 = \tfrac14 - \ln 2, \quad e_s = \tfrac{\pi - 1 - 2\ln 2}{4} \approx 0.1888.

（ $e_s$ 取自 Hamer, Quispel & Batchelor, 1987。）对于 $L = 32$ ，得到 $-13.9983\,J$ ，与 DMRG 结果相差不到 $10^{-3}$ 。如何去除边界贡献参见 DMRG-03。

加载迭代历史

为了了解算法的收敛过程，我们加载每次扫描的测量数据：

itr = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm_spin_one_half'),
                               what=['Iteration Energy', 'Iteration Truncation Error'])

itr[0][0] 包含每次半扫描记录的能量；itr[0][1] 包含每步的截断误差。截断误差是约化密度矩阵被舍弃本征值之和——即具有 $m$ 个状态的 MPS 无法表示的精确基态权重。收敛良好的计算应使截断误差低于 $10^{-6}$ ；对于这个系统的 $m = 100$ ，最终值约为 $10^{-13}$ 。

绘制收敛图

plt.figure()
pyalps.plot.plot(itr[0][0])
plt.title('Iteration history of ground state energy (S=1/2)')
plt.ylim(-15, 0)
plt.ylabel('$E_0$')
plt.xlabel('Iteration')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(itr[0][1])
plt.title('Iteration history of truncation error (S=1/2)')
plt.yscale('log')
plt.ylabel('Truncation error')
plt.xlabel('Iteration')

plt.show()

结果

能量在前几次扫描内迅速收敛至平台。下图显示了能量随迭代次数的变化——在最后一次扫描之前已趋于稳定：

DMRG 迭代过程中的基态能量收敛

截断误差在对数坐标下单调衰减，反映了每次扫描后 MPS 近似质量的提升：

DMRG 迭代过程中截断误差的衰减（对数坐标）

当两条曲线均趋于平坦时，计算已收敛。若要进一步提高精度，可增大 MAXSTATES 并验证能量和截断误差的变化可以忽略不计。

杂质求解器精确对角化