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动力学平均场理论（DMFT）求解器
DMFT-09 Néel Transition

DMFT-09 Néel Transition

单格点 DMFT 中的 Néel 转变

在本例中，我们重现 Georges 等人的 DMFT 综述文章中的图 11。这一系列共六条曲线展示了体系——一个相互作用为 U=3D/2U=3D/\sqrt{2}、处于半满情形、格子为贝特格子的 Hubbard 模型——在降温过程中如何进入反铁磁相。

本教程综合了 DMFT-02 Hybridization、DMFT-03 Interaction 和 DMFT-07 Hirsch-Fye：用三种算法上相互独立的杂质求解器求解同一个物理点，并将结果直接绘制在同一张图上进行比较。

模型

与教程 02、03、07 一样，我们求解单带 Hubbard 模型

H^=−t∑⟨i,j⟩,σ(c^iσ†c^jσ+h.c.)+U∑in^i↑n^i↓−μ∑i,σn^iσ \hat{H} = -t\sum_{\langle i,j\rangle,\sigma} \left(\hat{c}^\dagger_{i\sigma}\hat{c}_{j\sigma} + \text{h.c.}\right) + U\sum_i \hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow} - \mu\sum_{i,\sigma}\hat{n}_{i\sigma}

处于贝特格子上、半满（μ=0\mu=0）情形，取 t=0.707106781186547=1/2t=0.707106781186547=1/\sqrt{2}（半带宽 D=2t=2D=2t=\sqrt{2}）、U=3U=3，使得 U=3D/2U=3D/\sqrt{2}，与 Georges et al. (1996) 一致。ANTIFERROMAGNET=1 允许 Néel 自洽，因此在一系列 β\beta 下冷却这一物理点，无论使用哪种杂质求解器，都会重现图 11 中金属到反铁磁绝缘体的交叉。

参数

每个求解器完整的注释参数文件都已在相应教程中给出；这里只在共同的 β=12\beta=12 处重新列出各求解器专属的设置：

参数含义CT-HYB（DMFT-02）CT-INT（DMFT-03）Hirsch-Fye（DMFT-07）
SOLVER杂质求解器"hybridization""Interaction Expansion""hirschfye"
N虚时间离散化数2502505005001616（刻意取小值，见 DMFT-07）
求解器专属附加参数N_MEAS、N_ORDER、SC_WRITE_DELTAALPHA、HISTOGRAM_MEASUREMENTTOLERANCE
共有U、t、BETA、MU、H、FLAVORS、ANTIFERROMAGNET、SYMMETRIZATION、NMATSUBARA、OMEGA_LOOP、SITES、SEED三个求解器完全相同（见上文“模型”）

运行模拟

每个求解器的简短版脚本都会在其各自的教程目录中写出 parm_beta_6.0 和 parm_beta_12.0，并运行它们：

cd tutorials/dmft-02-hybridization && python tutorial2.py    # CT-HYB
cd tutorials/dmft-03-interaction   && python tutorial3.py    # CT-INT
cd tutorials/dmft-07-hirschfye     && python tutorial7.py    # Hirsch-Fye

或者，在参数文件生成之后，也可以直接在命令行中运行：

/path-to-alps-installation/bin/dmft tutorials/dmft-02-hybridization/parm_beta_12.0
/path-to-alps-installation/bin/dmft tutorials/dmft-03-interaction/parm_beta_12.0
/path-to-alps-installation/bin/dmft tutorials/dmft-07-hirschfye/parm_beta_12.0

完整的脚本和带注释的参数文件请参见 DMFT-02、DMFT-03 和 DMFT-07。

格子

三个求解器都运行在本系列教程中一直使用的、无穷配位数 z→∞z\to\infty 极限下的贝特格子上，跃迁按 t=t∗/zt=t^*/\sqrt{z} 重新标度，使得半圆形态密度（半带宽 D=2tD=2t）可以在自洽循环中被解析求值：

        o       o
         \     /
      t   \   /   t
           \ /
        o---o---o          o : lattice site, interaction U (on site)
           / \              --- : bond, hopping amplitude t
          /   \
         /     \
        o       o

关于在不同格子上进行同样的比较，请参见 DMFT-08 格子。

方法选择

CT-HYB、CT-INT 与 Hirsch-Fye 建立在互不相关的近似之上：CT-HYB 对杂化做展开，在强耦合下效率最高；CT-INT 对相互作用做展开，在弱到中等耦合下效率最高；Hirsch-Fye 将虚时间离散为 NN 个时间片，带有必须通过外推消除的系统性 (Δτ)2(\Delta\tau)^2 偏差（关于各自的细节，请参见 DMFT-02，以及 DMFT-03 和 DMFT-07 中的“方法选择”一节）。在 U=3D/2U=3D/\sqrt{2} 处，这三种算法都没有明显处于对自己特别有利或不利的区域，这使得该点非常适合用来相互交叉验证：由于三个求解器不共享任何系统性偏差，凡是在三者收敛结果中都出现的特征——特别是随冷却出现的 G(τ)G(\tau) 反铁磁分裂——必定是物理模型与 DMFT 自洽性本身的性质，而不是某一特定蒙特卡罗算法的产物。

输出数据与绘图

与教程 02、03、07 中分别绘图不同，本教程的核心在于把三者叠加在同一张图上：

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

listobs = ['0']  # flavor 0

files = {
    'CT-HYB'     : 'tutorials/dmft-02-hybridization/parm_beta_12.0.h5',
    'CT-INT'     : 'tutorials/dmft-03-interaction/parm_beta_12.0.h5',
    'Hirsch-Fye' : 'tutorials/dmft-07-hirschfye/parm_beta_12.0.h5',
}

alldata = []
for solver, fname in files.items():
    data = pyalps.loadMeasurements([fname], respath='/simulation/results/G_tau', what=listobs, verbose=False)
    for d in pyalps.flatten(data):
        d.x = d.x*d.props["BETA"]/float(d.props["N"])
        d.props['label'] = solver
        alldata.append(d)

plt.figure()
plt.xlabel(r'$\tau$')
plt.ylabel(r'$G_{flavor=0}(\tau)$')
plt.title('DMFT-09: Neel transition at BETA=12, solver comparison')
pyalps.plot.plot(alldata)
plt.legend()
plt.show()

由于这是对三个独立随机模拟的比较，实际得到的数值取决于各自运行的 SEED、MAX_TIME 和计算机速度，但三条曲线应在各自的误差范围内一致——不过除非像 DMFT-07 中建议的那样做外推，否则 Hirsch-Fye 的 N=16 离散化偏差相对于 CT-HYB 和 CT-INT 会是可见的。你也可以从部分收敛的解而不是从头重新运行某个求解器：将所需的 G0omega_output 复制为新文件名，并在重新运行之前，在参数文件（或对应的 python 字典）中通过 G0OMEGA_INPUT 指定它。

小结与展望

用 CT-HYB、CT-INT 和 Hirsch-Fye 求解同一个 Néel 转变，并发现三者一致，这直接验证了 DMFT-02、DMFT-03 和 DMFT-07 收敛到的是同一物理，而不是各自求解器特有的伪影。

  1. 将上面的合并图扩展到全部六个 β\beta 值（使用 tutorial2_long.py、tutorial3_long.py 和 tutorial7_long.py），重现完整的图 11 比较，在每个温度下都叠加三个求解器的结果。
  2. 在固定运行时间的情况下，β=12\beta=12 时三个求解器中哪一个给出的误差棒最小？在更靠近顺磁一侧的 β=6\beta=6 处，这一排序是否会改变？
  3. 在把 Hirsch-Fye 的结果纳入合并图之前，先将其外推到 Δτ→0\Delta\tau\to0（见 DMFT-07）。外推后的曲线是否明显更接近 CT-HYB 和 CT-INT？
  4. DMFT-06 做了类似的跨求解器比较，但是在顺磁金属相中，并与 Georges et al. (1996) 图 15 中数值精确的精确对角化／Hirsch-Fye 基准做比较。比较这两种情形：求解器之间的一致性，在教程 06 的顺磁金属中更容易达到，还是在本教程所研究的反铁磁相中更容易达到？
DMFT-08 Lattices