DMRG-01 Introduction

本系列教程将介绍如何使用 dmrg 应用程序——ALPS 对密度矩阵重正化群的实现——来计算一维量子自旋链的基态能量、激发能隙、局域可观测量和关联函数。本系列每个模块均使用同一个可执行文件 dmrg（位于 ALPS 安装目录的 bin 子目录中）；从一个模块到另一个模块，变化的是所请求的控制参数和测量量，而非可执行文件本身。本模块首先介绍算法及其控制参数；后续模块将逐步将其应用于越来越复杂的测量任务。

总体说明

在开始之前，让我们简要讨论 DMRG 算法的内在逻辑，而不深入全部细节。对于局域状态空间维数为 $d$ 的一维量子系统（对于自旋大小为 $S$ 的自旋，$d=2S+1$），希尔伯特空间维数随系统尺寸 $L$ 呈指数增长，即 $d^L$。精确对角化在这个指数级庞大的希尔伯特空间中给出精确结果，代价是只能处理较小的系统尺寸。量子蒙特卡洛通过随机采样这个大空间给出近似结果，可以处理更大的系统尺寸。密度矩阵重正化群（DMRG）则采取另一种思路，即在指数级庞大的希尔伯特空间中寻找大小为 $D$ 的极小子空间，期望这些子空间能够包含对感兴趣状态（如基态）的良好乃至极佳近似。

因此，第一个关键控制参数是 $D$，称为矩阵维数或块态数目。参数 $D$ 控制子空间中的态数。DMRG 对该参数具有单调性：$D$ 越大，子空间越大，近似可以越好。极限情况下，若 $D\rightarrow d^L$，则没有态被丢弃，解将是精确的。然而这在实践中没有意义；若计算机能处理如此多的态，精确对角化将是更优的选择。

第二个关键控制参数自然是系统尺寸 $L$。

第三个控制参数只有更仔细地审视 DMRG 算法才能理解。为了找到某个态的最佳近似，DMRG 分两步进行：

1. 第一步（所谓的无限系统 DMRG）：算法通过迭代分析长度为 2、4、6……的链来寻找良好子空间，直至达到期望的系统尺寸 $L$。该过程在每次迭代中将链从中间分开并插入两个新格点；这个名称来源于该过程当然可以无限进行下去，将 $L$ 推向无穷大；但不要期望在接近无穷大时得到非常有意义的结果！另外需要注意的是，该过程使得偶数长度的链更适合 DMRG 处理。
2. 第二步（所谓的有限系统 DMRG）：DMRG 应对这样一个事实：对较短链的子空间选择尚未能考虑到最终长度 $L$ 的链中存在的全部量子涨落和关联。该方法通过一系列进一步迭代来提高子空间的质量。在 DMRG 中，遍历链上所有格点的一次迭代被称为一次扫描。扫描次数是最后一个重要控制参数：若扫描次数过少，对于给定 $D$ 的结果精度无法达到；若扫描次数过多，则计算成本可能被浪费。当然，谨慎保守总是好的。

最后，让我们考虑截断误差，它是衡量 DMRG 运行所达到精度的良好指标。简单来说，在算法的每一步，DMRG 都朝着态空间指数增长的方向迈出一步，然后通过对密度矩阵本征态权重（本征值）分布的分析，考察若不允许这一步能保留多少精度。DMRG 的近似体现在必须丢弃部分统计权重，即所谓的截断误差。在许多 DMRG 应用中，截断误差可以小至 $10^{-12}$，这表明 DMRG 的近似极为轻微，也是该方法获得巨大成功的原因。对于本教程而言，重要的是：在扫描次数足够多的前提下，局域量（能量、磁化强度……）的误差大致正比于截断误差（但通常比截断误差大得多）。

与众不同之处 …

与其他数值方法最重要的区别在于，DMRG 偏好开放边界条件，即链在格点 1 和 $L$ 处有两个端点，而不是像精确对角化和大多数解析方法所偏好的那样形成闭合环路。这将导致贯穿整个教程系列的一些微妙问题，从 DMRG-03 中自旋-1 链所需的特殊格点，到 DMRG-05 中研究的激发态中边界与体激发的区别。

ALPS DMRG 代码及其控制参数

除哈密顿量和格点几何等输入参数外，DMRG 模拟还需要一组特定的控制参数。以下列出了其中一些。更多详情请参考 DMRG 参考页面。

DMRG 专有参数

如何选择合适的参数

不推荐使用默认输入值。DMRG 的收敛性在很大程度上受预热步骤中使用的态数目、扫描次数以及每次迭代保留的最大态数目的影响。良好的做法是观察基态能量和截断误差随态数目的收敛行为，从而确定在给定容差下所需保留的最优态数目。

为了确定是否已进行足够多的扫描，可以观察关联函数的空间分布，或局域量（如自旋磁化强度或粒子密度）。例如，在具有反射对称性的模型中，这些可观测量也应表现出对称性。纠缠熵也应当是对称的。若结果未能反映这种行为，很可能是因为计算中扫描次数不足（另一种可能的情形是相分离）。

若哈密顿量守恒某些量子数（如 Sz 或 N），则可以将这些值固定，在维数较小的子空间中运行模拟。这样可以大幅加快运行速度并减少内存占用。