DMRG-02 Heisenberg Spin Chains

模型：海森堡自旋链

在 DMRG 的应用中，我们考虑两个模型，即长度为 $L$ 的自旋-1/2 和自旋-1 反铁磁海森堡链，其哈密顿量为：

选择这两个模型（您可能已在其他教程中熟悉它们）的原因在于，尽管它们表面上相似，却表现出截然不同的物理行为，并对 DMRG 算法提出了截然不同的挑战。在进行任何 DMRG 计算之前，让我们简要回顾其物理性质，以便在后续教程中进行基态能量、能隙和关联函数的计算时，手头有精确的和数值的基准值。

自旋-1/2 链

自旋-1/2 链的基态可以通过 Bethe 拟设精确构造；因此我们精确地知道其基态能量。在热力学极限 $L\rightarrow\infty$ 下，每格点能量为：

基态能量本身若不与其他能量比较，意义有限。但它可以作为 DMRG 方法的漂亮基准，我们将在 DMRG-03 中数值验证这一点。更令人感兴趣的是，基态是否与激发态之间存在一个在热力学极限下仍然存在的能量差，即能隙是否为零。对于自旋-1/2 链，能隙为 0。

与此同时，人们还会关心不同格点上自旋之间的关联是什么样的。对于无限长自旋-1/2 链，已知在渐近极限（即 $|i-j| \rightarrow \infty$）下：

自旋-1/2 链是临界的，即自旋之间的反铁磁关联随距离按幂律衰减，$\langle S^z_i S^z_j \rangle \sim (-1)^{|i-j|}\cdot|i-j|^{-\eta}$，临界指数 $\eta=1$。那个难看的对数来自一个边缘不相关算符，渐近上不改变标度行为，但确实引入了一个缓慢变化的乘性因子，如 ED-04 中所讨论的。临界指数的定义是关联函数 $C(r)$ 对距离取对数导数在渐近极限下的值：

因此在任意有限距离 $r$ 处测得的指数为：

这正是上面提到的修正，可以通过在非常长链上进行 DMRG 计算来漂亮地验证。但由于 $\ln r$ 本身增长极为缓慢，$1/(2\ln r)$ 只会非常缓慢地随 $r$ 趋于零——因此在 DMRG 可以处理的任何有限链上，$\eta_{\rm eff}(r)$ 都会明显低于 1，只是缓慢地向其靠近。作为初步近似，我们忽略这一修正，简单地以 $\eta=1$ 为目标，但请记住，数值提取的指数通常会偏低。

自旋-1 链

几十年来，人们认为自旋-1 链的行为应该与自旋-1/2 链相似，当然由于自旋长度不同会有一些定量差异。1982 年，Duncan Haldane 指出各向同性反铁磁海森堡链应该根据自旋长度（即半整数自旋 $S=1/2,3/2,\ldots$ 与整数自旋 $S=1$）表现出本质差异，这让人大感意外，而这种差异在自旋长度较小时最为明显。因此，自旋-1 链成为强烈关注的焦点，事实上 DMRG 一些最重要的早期应用就是针对该系统的。

与自旋-1/2 链不同，自旋-1 链没有任何性质可以通过解析方法精确计算。在定量陈述方面，我们完全依赖数值计算。

每格点基态能量为：

同样，能隙是否存在的问题更为重要，在这里与自旋-1/2 链的一个重大差异变得显现：在热力学极限下，自旋-1 链的能隙是有限的：

精确到五位有效数字。

自旋-自旋关联行为的问题又带来了与自旋-1/2 情形的另一个重大差异。在渐近极限（即 $|i-j| \rightarrow \infty$）下，关联函数为：

主导贡献现在是在长度尺度 $\xi$（即关联长度）上发生的指数衰减，在该特定情形下数值计算给出 $\xi=6.02$。分母中距离的平方根是一个解析的（幂律）修正，但在计算关联长度时通常被忽略，因为与快速指数衰减相比它是一个缓慢的贡献。当然，若关联长度大得多，这一修正就会变得重要。

因此，自旋-1 链是具有有限能隙和指数衰减关联的非临界量子系统的典型例子。事实证明，这正是 DMRG 最擅长模拟的系统类型。

后续教程计划

在建立了这些基准值之后，DMRG-03 进行首批 dmrg 运算以数值计算两条链的基态能量，DMRG-04 展示如何从有限 $L$ 的 DMRG 计算中提取能隙 $\Delta$ 并外推至热力学极限，DMRG-05 利用局域磁化强度轮廓等局域可观测量区分边界激发与体激发，DMRG-06 直接计算自旋-自旋关联函数，提取自旋-1/2 链的幂律指数和自旋-1 链的关联长度 $\xi$。