DMRG-05 Local Observables

我们将与某个特定格点相关联的可观测量称为局域可观测量。对于自旋链，有意义的局域可观测量是局域磁化强度 $\langle S^z_i \rangle$ 。

自旋-1 链中的激发态

取长度 $L=96$ 、 $D=200$ 的链，计算局域磁化强度 $\langle S^z_i \rangle$ 。将其对格点 $i$ 作图，分别对应磁化量子数扇区 0、1 和 2 的基态。

你应该得到：扇区 0 的磁化曲线基本平坦；扇区 1 的磁化基本集中在链的两端；而扇区 2 的磁化则同时存在于链端和链的体内。这意味着开放链的第一激发态是边界激发，在封闭系统中不存在；开放链的第二激发态是边界激发加体激发，而体激发才是我们感兴趣的。因此（原因目前尚不明朗），第一个体激发态的能量必须通过比较扇区 1 和 2 来提取。

这个故事的寓意是：通过观察这个局域可观测量，我们可以区分自旋-1 链中的边界激发与体激发。

使用参数文件

下面的参数文件 spin_one 将设置三次独立运行，每个自旋扇区一次（与之前一样，为便于说明我们使用较小的系统和态数目）：

LATTICE_LIBRARY="my_lattices.xml"
LATTICE="open chain lattice with special edges 32"
MODEL="spin"
local_S0=0.5
local_S1=1
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N,Sz"
J=1
NUMBER_EIGENVALUES=1
SWEEPS=4
MEASURE_LOCAL[Local magnetization]=Sz
MAXSTATES=40
{ Sz_total=0 }
{ Sz_total=1 }
{ Sz_total=2 }

使用通常的命令序列进行转换和运行：

parameter2xml spin_one
dmrg --write-xml spin_one.in.xml

使用 Python

脚本 spin_one.py 对三个自旋扇区各运行一次模拟：

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot
parms = []
for sz in [0,1,2]:
    parms.append( { 
        'LATTICE_LIBRARY'           : 'my_lattices.xml',
        'LATTICE'                   : 'open chain lattice with special edges 32',
        'MODEL'                     : "spin",
        'local_S0'                  : '0.5',
        'local_S1'                  : '1',
        'CONSERVED_QUANTUMNUMBERS'  : 'N,Sz',
        'Sz_total'                  : sz,
        'J'                         : 1,
        'SWEEPS'                    : 4,
        'NUMBER_EIGENVALUES'        : 1,
        'MAXSTATES'                 : 40,
        'MEASURE_LOCAL[Local magnetization]'   : 'Sz'
} )

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm_spin_one',parms)
res = pyalps.runApplication('dmrg',input_file,writexml=True)

加载数据文件后，可以提取局域磁化强度的结果：

data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm_spin_one'))

curves = []
for run in data:
    for s in run:
        if s.props['observable'] == 'Local magnetization':
            sz = s.props['Sz_total']
            s.props['label'] = '$S_z = ' + str(sz) + '$'
            s.y = s.y.flatten()
            curves.append(s)

并将其绘图：

plt.figure()
pyalps.plot.plot(curves)
plt.legend()
plt.title('Magnetization of antiferromagnetic Heisenberg chain (S=1)')
plt.ylabel('local magnetization')
plt.xlabel('site')
plt.show()

自旋-1/2 链中的磁化

对最低磁化量子数扇区中的自旋-1/2 链重复类似的计算。

使用参数文件

以下参数文件将完成此任务，可从此处下载：

LATTICE="open chain lattice"
MODEL="spin"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N,Sz"
SWEEPS=4
J=1
NUMBER_EIGENVALUES=1
MEASURE_LOCAL[Local magnetization]=Sz
L=32
MAXSTATES=40
{ Sz_total=0 }
{ Sz_total=1 }
{ Sz_total=2 }

parameter2xml spin_one_half
dmrg --write-xml spin_one_half.in.xml

使用 Python

除明显的参数变化外，脚本 spin_one_half.py 与上面解释的 spin_one 脚本相同。

小结

局域磁化轮廓清楚地区分了开放自旋-1 链中的边界激发与体激发，这就是为什么 DMRG-04 中研究的物理上相关的（体）能隙必须取自磁化量子数扇区 1 和 2 之间，而非 0 和 1 之间。

思考题

对自旋-1/2 链的最低磁化量子数扇区重复局域磁化计算，与上面的自旋-1 情形相比，你观察到了什么？

DMRG-04 Gaps DMRG-06 Correlations