DMRG-07 模拟

在本教程中，我们将 DMRG-07 简介中建立的理论工具付诸实践，使用 ALPS dmrg 应用程序计算一维无自旋费米子链的基态能量，工作流程与自旋链的 DMRG-03 相同。

感兴趣的物理现象

具有最近邻排斥作用的无自旋费米子链——即 $t$ – $V$ 模型——是最简单的相互作用费米子模型。尽管如此，它包含了一维金属的基本物理：弱耦合时它是 Luttinger 液体，一种没有准粒子的临界金属态；而在强排斥下（半满填充时 $V > 2t$ ）它会发生相变，进入有能隙的电荷有序绝缘体。通过简介中推导的 Jordan–Wigner 变换，它恰好是 XXZ 自旋链的另一副面孔，因此这里得到的每一个结果都可以与自旋链教程相互印证。与 DMRG-03 一样，我们从最基本的可观测量——基态能量 $E_0$ ——入手，在相图上两个存在精确参考值的点上进行计算：自由费米子点 $V=0$ ，以及映射到 DMRG-03 各向同性海森堡链的相互作用强度 $V=2t$ 。

模型

我们研究含 $L$ 个格点的开链上的 $t$ – $V$ 哈密顿量，

\hat H \;=\; -t\sum_{j=1}^{L-1}\Big(\hat c^{\dagger}_j \hat c_{j+1} + \hat c^{\dagger}_{j+1}\hat c_j\Big) \;+\; V \sum_{j=1}^{L-1} \hat n_j\, \hat n_{j+1} \;-\; \sum_{j=1}^{L} \mu_j\, \hat n_j ,

其中 $t$ 为跳跃振幅， $V$ 为最近邻排斥强度， $\mu_j$ 为（可依赖于格点的）化学势。该模型是可积的：通过 Jordan–Wigner 变换，它等价于由 Yang 和 Yang 精确求解的 XXZ 链，其临界相是 Luttinger 液体的标准格点实现。

将简介中的对照表逐键应用于开链，可得

t = \frac{J}{2}, \qquad V = J\Delta,

J\Delta\sum_{j}\Big(\hat n_j - \tfrac12\Big)\Big(\hat n_{j+1} - \tfrac12\Big) = V\sum_{j} \hat n_j \hat n_{j+1} - \frac{V}{2}\sum_{j} z_j\, \hat n_j + \frac{V(L-1)}{4},

其中 $z_j$ 是格点 $j$ 的配位数（体内 $z=2$ ，两个端点处 $z=1$ ）。因此，XXZ 链等于具有依赖于格点的化学势 $\mu_j = \tfrac{V}{2} z_j$ 的 $t$ – $V$ 模型，两者相差常数 $V(L-1)/4$ ——这一记账细节将在下文用来与 DMRG-03 进行基准比较。

在玻色子基下运行费米子

在开链上，所有 Jordan–Wigner 弦在最近邻项中相互抵消，因此费米子

t

–

V

链、XXZ 自旋链和硬核玻色子

t

–

V

链在粒子数

N

的每个扇区中都具有完全相同的能谱。ALPS 模型库定义的 hardcore boson 与 spinless fermions 具有完全相同的参数（t、V、mu#）和相同的守恒量子数 N。我们使用 MODEL="hardcore boson" 运行模拟：经典的 dmrg 应用程序不能可靠地处理 MODEL="spinless fermions" 的费米子符号记账（扫描无法变分收敛），而 Jordan–Wigner 等价性保证了在玻色子基下工作不会损失任何一般性。诸如 sparsediag 之类的精确对角化应用程序可以直接处理 MODEL="spinless fermions"，可用于在小链上验证这一等价性（见文末的思考题）。

方法选择

在半满填充时，相关的希尔伯特空间扇区的维数为

\dim \mathcal{H}_{N=L/2} = \binom{L}{L/2} \;\xrightarrow{\;L=32\;}\; \binom{32}{16} \approx 6.0\times 10^{8},

远远超出完全对角化或稀疏对角化的能力范围。DMRG 是计算一维基态的首选方法：下面的每次运行（32 个格点的链，最多保留 $D=100$ 个态，4 次扫描）在笔记本电脑上不到一分钟即可完成，同时将 $E_0$ 收敛到十位或更多有效数字。

自由费米子（ $V=0$ ）

在 $V=0$ 时，模型是一个自由费米子能带 $\varepsilon(k) = -2t\cos k$ 。对于开链，单粒子本征态是驻波，能量为

\varepsilon_n = -2t\,\cos\!\left(\frac{n\pi}{L+1}\right), \qquad n = 1,\dots,L ,

因此在填充数 $N$ 下的精确基态能量就是 $N$ 个最低 $\varepsilon_n$ 之和。对于 $L=32$ 、 $N=16$ （半满填充）：

E_0^{\text{exact}} = \sum_{n=1}^{16} \varepsilon_n = -20.0163879005\, t .

这给了我们一份难得的奢侈：一个带有精确有限尺寸参考值的相互作用代码基准。

参数

参数	含义	值
`LATTICE`	内置开链，无需格点文件（见 ALPS 格点库）	`open chain lattice`
`MODEL`	硬核玻色子 $t$ – $V$ 模型，无自旋费米子链的 Jordan–Wigner 等价形式	`hardcore boson`
`CONSERVED_QUANTUMNUMBERS`	固定的量子数，用于对 $H$ 进行块对角化	`N`
`N_total`	目标粒子数扇区（半满填充）	16
`t`	最近邻跳跃振幅	1
`V`	最近邻排斥强度	0
`L`	链长	32
`SWEEPS`	DMRG 有限系统扫描次数	4
`NUMBER_EIGENVALUES`	请求的本征态数目	1
`MAXSTATES`	截断后保留的键维数 $D$	100（单次运行）；20、40、60（多次运行）

注意与自旋教程的一个结构性差异：守恒量子数只有粒子数 N，而且扇区用 N_total 而非 Sz_total 选择——这是简介中对照表 $S^z_{\text{tot}} = N - L/2$ 的费米子一侧。半满填充 $N_{\text{total}} = 16$ 对应于 DMRG-03 中使用的 $S^z_{\text{tot}}=0$ 扇区。

格点

来自 ALPS 格点库的内置 open chain lattice 就足够了：每个格点都是等价的（ $\mu_j = 0$ ），每条键都携带相同的跳跃 $t$ ：

      t       t       t                   t       t
  o-------o-------o-------o  . . .  o-------o-------o
  1       2       3       4         30      31      32

  every bond:  hopping t, interaction V=0
  every site:  chemical potential mu=0

开放边界条件是 DMRG 的自然选择（见 DMRG-01），在这里还有一个额外的好处：Jordan–Wigner 映射是精确的，没有边界宇称因子（见简介中关于边界的注意事项）。

参数文件

单次运行参数文件 spinless_free：

LATTICE="open chain lattice"
MODEL="hardcore boson"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N"
N_total=16
t=1
V=0
SWEEPS=4
NUMBER_EIGENVALUES=1
L=32
{MAXSTATES=100}

以及多次运行文件 spinless_free_multiple，用于研究结果随保留态数的收敛：

LATTICE="open chain lattice"
MODEL="hardcore boson"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N"
N_total=16
t=1
V=0
SWEEPS=4
NUMBER_EIGENVALUES=1
L=32
{ MAXSTATES=20 }
{ MAXSTATES=40 }
{ MAXSTATES=60 }

运行模拟

将 ALPS 可执行文件加入 PATH 后，把参数文件转换为 XML 并运行 dmrg 应用程序：

parameter2xml spinless_free
dmrg --write-xml spinless_free.in.xml

parameter2xml spinless_free_multiple
dmrg --write-xml spinless_free_multiple.in.xml

第一对命令生成 spinless_free.task1.out.xml；第二对命令生成三个输出文件 spinless_free_multiple.task#.out.xml，每个 MAXSTATES 值对应一个。

海森堡点处的相互作用费米子（ $V=2t$ ）

现在我们打开相互作用，取 $t=\tfrac12$ 、 $V=1$ ，即 $J = 2t = 1$ 、 $\Delta = V/J = 1$ ：这是费米子语言下 DMRG-03 的各向同性海森堡链。为使对应关系精确成立而非仅在渐近意义下成立，必须包含前面推导的依赖于格点的化学势 $\mu_j = \tfrac{V}{2} z_j$ ：体内格点 $\mu = V$ ，而只有一个近邻的两个端点格点 $\mu = V/2$ 。于是预言的基态能量为

E_0^{tV} \;=\; E_0^{\text{Heis}}(L=32) - \frac{V(L-1)}{4} \;=\; -13.9973156 - \frac{31}{4} \;=\; -21.7473156 ,

其中使用了 DMRG-03 中计算的 $L=32$ 海森堡能量。

参数

参数	含义	值
`LATTICE_LIBRARY`	自定义格点文件（见下文）	`my_lattice.xml`
`LATTICE`	两个端点顶点具有单独类型的开链	`open chain lattice with special edges`
`MODEL`	硬核玻色子 $t$ – $V$ 模型，无自旋费米子链的 Jordan–Wigner 等价形式	`hardcore boson`
`CONSERVED_QUANTUMNUMBERS`	固定的量子数	`N`
`N_total`	目标粒子数扇区（半满填充）	16
`t`	最近邻跳跃振幅（ $J/2$ ）	0.5
`V`	最近邻排斥强度（ $J\Delta$ ）	1
`mu0`	两个端点格点上的化学势（ $Vz/2$ ， $z=1$ ）	0.5
`mu1`	体内格点上的化学势（ $Vz/2$ ， $z=2$ ）	1
`SWEEPS`	DMRG 有限系统扫描次数	4
`NUMBER_EIGENVALUES`	请求的本征态数目	1
`MAXSTATES`	截断后保留的键维数 $D$	100（单次运行）；20、40、60（多次运行）

格点

内置开链使每个顶点都具有相同的类型，因而具有相同的化学势。为了给两个端点格点各自的 $\mu$ ，我们重用 DMRG-03 中自旋-1 链的技巧：一个自定义格点，其中端点顶点为类型 0，体内顶点为类型 1。这样 ALPS 模型库便提供了按类型区分的参数 mu0 和 mu1：

   t,V     t,V     t,V                 t,V     t,V
  o-------o-------o------  . . .  ------o-------o
  1       2       3                     31      32

  site 1, 32   (type 0):  mu0 = V/2   (z = 1, one neighbor)
  sites 2..31  (type 1):  mu1 = V     (z = 2, two neighbors)
  every bond   (type 0):  hopping t, interaction V

这里适用与 DMRG-03 相同的格点图逻辑，只是原因不同：在那里特殊边缘携带的是不同的自旋，这里携带的是不同的化学势。完整的格点文件 my_lattice.xml（有删节——省略的顶点和边的规律显而易见）：

<LATTICES>
<GRAPH name = "open chain lattice with special edges" dimension="1" vertices="32" edges="31">
<VERTEX id="1" type="0"><COORDINATE>1</COORDINATE></VERTEX>
<VERTEX id="2" type="1"><COORDINATE>2</COORDINATE></VERTEX>
<VERTEX id="3" type="1"><COORDINATE>3</COORDINATE></VERTEX>
<!-- ... vertices 4 to 30, all type="1" ... -->
<VERTEX id="31" type="1"><COORDINATE>31</COORDINATE></VERTEX>
<VERTEX id="32" type="0"><COORDINATE>32</COORDINATE></VERTEX>
<EDGE source="1" target="2" id="1" type="0" vector="1"/>
<EDGE source="2" target="3" id="2" type="0" vector="1"/>
<!-- ... edges 3 to 30 ... -->
<EDGE source="31" target="32" id="31" type="0" vector="1"/>
</GRAPH>
</LATTICES>

对任意 $L$ ，都可以用几行 Python 生成该文件：

L = 32
print('<LATTICES>')
print(f'<GRAPH name = "open chain lattice with special edges" dimension="1" vertices="{L}" edges="{L-1}">')
for i in range(1, L+1):
    vtype = 0 if i in (1, L) else 1
    print(f'<VERTEX id="{i}" type="{vtype}"><COORDINATE>{i}</COORDINATE></VERTEX>')
for i in range(1, L):
    print(f'<EDGE source="{i}" target="{i+1}" id="{i}" type="0" vector="1"/>')
print('</GRAPH>')
print('</LATTICES>')

参数文件

单次运行参数文件 spinless_tV：

LATTICE_LIBRARY="my_lattice.xml"
LATTICE="open chain lattice with special edges"
MODEL="hardcore boson"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N"
N_total=16
t=0.5
V=1
mu0=0.5
mu1=1
SWEEPS=4
NUMBER_EIGENVALUES=1
{MAXSTATES=100}

以及多次运行文件 spinless_tV_multiple：

LATTICE_LIBRARY="my_lattice.xml"
LATTICE="open chain lattice with special edges"
MODEL="hardcore boson"
CONSERVED_QUANTUMNUMBERS="N"
N_total=16
t=0.5
V=1
mu0=0.5
mu1=1
SWEEPS=4
NUMBER_EIGENVALUES=1
{ MAXSTATES=20 }
{ MAXSTATES=40 }
{ MAXSTATES=60 }

运行模拟

parameter2xml spinless_tV
dmrg --write-xml spinless_tV.in.xml

parameter2xml spinless_tV_multiple
dmrg --write-xml spinless_tV_multiple.in.xml

结果评估

下面的 Python 脚本（用 alpspython 运行）加载所有运行的收敛本征态测量结果以及两次单次运行的迭代历史，打印能量和截断误差，并绘制收敛曲线：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

# converged measurements of all runs
for prefix in ['spinless_free', 'spinless_free_multiple',
               'spinless_tV', 'spinless_tV_multiple']:
    data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix=prefix))
    for run in data:
        print(prefix, '| MAXSTATES =', run[0].props['MAXSTATES'])
        for s in run:
            print('   ', s.props['observable'], ':', s.y[0])

# iteration history of the two single runs
iter = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='spinless_free'),
                          what=['Iteration Energy','Iteration Truncation Error'])

plt.figure()
pyalps.plot.plot(iter[0][0])
plt.title('Iteration history of ground state energy (V=0)')
plt.ylabel('$E_0$')
plt.xlabel('iteration')
plt.show()

自由费米子

`MAXSTATES` $D$	截断误差 $\epsilon$	$E_0/t$	$E_0 - E_0^{\text{exact}}$
20	$5.2\times10^{-7}$	$-20.0163691706$	$1.9\times10^{-5}$
40	$1.7\times10^{-9}$	$-20.0163878550$	$4.6\times10^{-8}$
60	$1.3\times10^{-11}$	$-20.0163879001$	$4.1\times10^{-10}$
100	$3.2\times10^{-14}$	$-20.0163879005$	$1.4\times10^{-12}$

在 $D=100$ 时，DMRG 能量 $E_0 = -20.0163879005\,t$ 与精确的自由费米子值 $-20.0163879005\,t$ 在十二位数字上一致——而这台相互作用代码对模型是自由的这一事实一无所知。迭代历史展现出 DMRG-03 中熟悉的模式：能量在无限系统预热阶段陡然下降，并在第一次扫描内稳定到收敛值：

$V=2t$ 处的相互作用费米子

`MAXSTATES` $D$	截断误差 $\epsilon$	$E_0$	$E_0(D) - E_0(D{=}100)$
20	$1.6\times10^{-7}$	$-21.7473088794$	$6.7\times10^{-6}$
40	$5.7\times10^{-10}$	$-21.7473155951$	$2.3\times10^{-8}$
60	$1.3\times10^{-11}$	$-21.7473156177$	$4.9\times10^{-10}$
100	$4.4\times10^{-14}$	$-21.7473156182$	—

$D=100$ 的结果 $E_0 = -21.7473156$ 与 Jordan–Wigner 预言 $E_0^{\text{Heis}} - V(L-1)/4 = -21.7473156$ 在 DMRG-03 参考能量的每一位数字上都一致——这是对简介中推导的算符对照表的直接数值验证：

在两种情形下，能量误差都在很好的近似程度上正比于截断误差——这是 $D\to\infty$ 外推所用的标准经验法则，而多次运行让我们可以对它进行定量检验：

小结

在粒子数守恒的基下，DMRG 在 $L=32$ 、 $D=100$ 个态时将半满填充无自旋费米子链的基态能量收敛到几乎机器精度：自由点在十二位数字上重现了精确的驻波能量 $-20.0163879005\,t$ ，相互作用点 $V=2t$ 通过 Jordan–Wigner 平移 $-V(L-1)/4$ 在所有给出的数字上重现了 DMRG-03 的海森堡能量，并且两种情形下能量误差都随截断误差线性变化。

思考题

将 $E_0(D)$ 对截断误差 $\epsilon(D)$ 作拟合，并外推到 $\epsilon \to 0$ 。与未经处理的 $D=20$ 结果相比，外推得到的自由费米子能量与精确值有多接近？
设置 N_total=8（四分之一填充）以偏离半满填充。自由费米子基准 $E_0 = \sum_{n=1}^{8}\varepsilon_n$ 仍然是精确的——DMRG 在 $D$ 方向的收敛变得更容易还是更困难？为什么？
让相互作用扫过临界点：保持 $t=\tfrac12$ ，计算 $V = 0.5, 1, 1.5, 2, 3$ 时的 $E_0(V)$ 。在 $V=2t$ （ $\Delta>1$ ）之外，半满填充的链会出现电荷有序——你能否从收敛行为或局域密度中探测到这一相变？
在小链上端到端地验证 Jordan–Wigner 等价性：用 sparsediag 分别以 MODEL="spinless fermions" 和 MODEL="hardcore boson" 运行 $L=8$ 、 $N_{\text{total}}=4$ ，并确认两者的能谱在每个扇区中逐一吻合。
在不使用特殊边缘化学势的情况下重复 $V=2t$ 的运行（内置 open chain lattice，均匀的 mu=1）。结果不再与海森堡预言相符——在对 $V(\hat n_j-\tfrac12)(\hat n_{j+1}-\tfrac12)$ 逐键记账中，是哪一项造成了这一差异？

DMRG-07 简介

DMRG-07 模拟

感兴趣的物理现象

模型

在玻色子基下运行费米子

方法选择

自由费米子（V=0V=0V=0）

参数

格点

参数文件

运行模拟

海森堡点处的相互作用费米子（V=2tV=2tV=2t）

参数

格点

参数文件

运行模拟

结果评估

自由费米子

V=2tV=2tV=2t 处的相互作用费米子

小结

思考题

自由费米子（ $V=0$ ）

海森堡点处的相互作用费米子（ $V=2t$ ）

$V=2t$ 处的相互作用费米子