DMRG-07 简介

在本系列教程中，我们将重新审视前面模块中见过的海森堡链，但这次从无自旋费米子的视角进行分析。这里我们关注 XXZ 海森堡模型，并通过 Jordan–Wigner 变换将其翻译成无自旋费米子的语言。在本系列中我们将看到，两种语言描述的是同一个系统，只是各自可用的对称性不同，因而根据研究对象的不同，其中一种语言会比另一种更为合适。

XXZ 哈密顿量

出发点是具有最近邻耦合 $J$ 和各向异性 $\Delta$ 的各向异性海森堡（XXZ）链：

和以前一样，每个格点的局域希尔伯特空间是二维的，$\{\lvert\uparrow\rangle,\lvert\downarrow\rangle\}$，因此完整希尔伯特空间的维数为 $2^L$。有几个值得记住的特殊情形，可以用来进一步检验我们的 DMRG 算法：

现在我们照例定义升降算符，把上述哈密顿量写成解析上更顺手的形式：

注意 $(\hat S^+)^\dagger = \hat S^-$，也就是说升降算符与 $\hat S^z$ 不同，不是厄米算符。这是第一个提示：$\hat S^\pm$ 可以自然地映射为费米子的产生/湮灭算符，而 $\hat S^z_j$ 则是密度的天然候选（下文详述）。目前，我们只是把上述哈密顿量变换为通常的形式：

从物理上解读：第一项把一个翻转的自旋从格点 $j+1$ 移动到格点 $j$（以及反向移动）——这是一个跳跃项。第二项在 $S^z$ 基下是对角的——这是一个相互作用项。费米子化将把这一解读变为字面意义上的事实。

对易与反对易关系

为了充分论证上述类比，我们需要深入研究自旋算符的对易与反对易关系。众所周知，自旋代数由下式给出：

其中的 $\delta_{nm}$ 是至关重要的结构性事实：不同格点上的自旋彼此对易。 它们是可区分的局域自由度。

对于自旋-$\tfrac{1}{2}$，任意两个格点上的反对易子为：

特别地，$\big(\hat S^a_n\big)^2 = \tfrac{1}{4}\hat{\mathbb 1}$。

由上述代数可以得到升降算符的代数：

第二个关系表明 $\hat S^{\pm}$ 使 $\hat S^z$ 的本征值恰好升高/降低 $1$——它把 $m = -\tfrac12 \to +\tfrac12$，这再一次看起来就像增加或减少一个粒子！

现在是真正弥合类比与定量映射之间鸿沟的关键观察。单个格点上的反对易关系揭示了以下事实：

第二行是一个硬核/排斥条件：不能把一个自旋-$\tfrac12$ 升两次。将其与我们想要的费米子代数比较：

在单个格点上，恒等对应 $\hat S^+ \leftrightarrow \hat c^\dagger$、$\hat S^- \leftrightarrow \hat c$ 在局域上是完全正确的。注意在不同格点之间这个对应会失效：

也就是说，自旋彼此对易，而费米子彼此反对易。具体来讲：交换两个位于远处格点上的自旋翻转不付出任何代价，而交换两个费米子必须付出一个负号。纯粹局域的替换永远无法产生这个符号，因为它无从知道两个格点之间存在什么。

为了忠实地重现这些对易关系，我们需要通过 Jordan–Wigner 变换给产生和湮灭算符附加一个非局域的弦算符。

首先，为了完成我们的动机铺垫，让我们把态空间之间的映射说清楚。

态的映射：自旋位形 $\to$ 占据数

按照上面的分析，我们可以把两个局域态分别对应为空轨道和占据轨道：

也就是说，“下自旋” $=$ 空格点，“上自旋” $=$ 一个粒子。由于每个格点只能容纳 $0$ 或 $1$ 个粒子而绝不能容纳 $2$ 个，这些粒子自动服从泡利型排斥——这正是前面得到的 $(\hat S^+)^2 = 0$ 在态空间中的表现。如前所述，我们还可以看到：

注意它对总磁化的直接推论：

零磁化 $\Leftrightarrow$ 半满填充。

Jordan–Wigner 变换

现在我们介绍 Jordan–Wigner 变换，略去大部分代数细节。补全这些细节是很好的练习，但对我们的目标来说并不太重要。

首先定义格点 $l$ 上的局域宇称算符：

由此可以构造格点 $j$ 的弦算符，它就是严格位于 $j$ 左侧所有格点宇称的乘积：

$\hat P_j$ 测量的是 $j$ 左侧费米子数目的宇称：数目为偶时返回 $+1$，为奇时返回 $-1$。它显然是非局域的——依赖于链的整个左半部分——并且满足 $\hat P_j^\dagger = \hat P_j = \hat P_j^{-1}$。

我们所寻求的变换此时已唾手可得，其形式如下：

（两种排序结果一致，因为 $\hat P_j$ 只包含 $l<j$ 的格点，并且它在费米子算符中是偶次的，所以与 $\hat c^{(\dagger)}_j$ 对易。）

利用 $\hat P_j^2 = \hat{\mathbb 1}$ 以及用自旋表示的 $\hat P_j$，可以求出逆变换：

因此 $\hat c_j$ 不只是一个局域自旋翻转：它是"翻转格点 $j$ 上的自旋，并对 $j$ 左侧的每个上自旋乘上 $(-1)$"。注意 $\hat S^z_j$ 不需要弦——它是对角的，不交换任何东西。

弦为何能奏效

这里略去大部分代数推导，只指出若干关键事实。承担全部分量的那一个恒等式是：在单个格点上，宇称算符与自旋翻转反对易：

物理上：翻转该格点会改变它的宇称，因此翻转与宇称反对易。设 $i<j$，可以看出 $\hat P_j$ 中的每个因子都与 $\hat S_i^-$ 对易，唯独 $e^{i\pi\hat{n}_i}$ 与其反对易，从而给出：

同样的论证给出 $\{\hat c_i,\hat c_j\} = 0$，而在同一格点上，单格点代数已经给出 $\{\hat c_i,\hat c^\dagger_i\} = \{\hat S^-_i,\hat S^+_i\} = \hat{\mathbb 1}$。因此总的来说：

这个弦恰好是最小的修正。 它提供了交换所需的 $(-1)$，并且——由于 $\hat P_j^2 = 1$——不带来任何其他影响。该映射是幺正的，希尔伯特空间保持不变（两种描述下都是 $2^L$ 个态）；我们只是给基重新贴了标签，并重新定义了哪些算符被称为基本算符。

代价是排序 $1,2,\dots,L$ 被赋予了物理意义。Jordan–Wigner 变换在一维中之所以自然，正是因为链上"位于其左侧"的含义是明确无歧义的。在更高维中，弦没有标准的路径可循，这就是该技巧无法直接推广的原因。

映射哈密顿量

跳跃项：弦相互抵消

这里同样略去大部分代数步骤。我们关注最近邻键 $\hat S^+_j \hat S^-_{j+1}$ 并代入：

其中 $\hat P_j^2 = \hat{\mathbb 1}$ 消去了来自格点 $l<j$ 的整条弦。仅存的那个宇称因子也随之消失，因为 $\hat c^\dagger_j \hat n_j = \hat c^\dagger_j \hat c^\dagger_j \hat c_j = 0$。于是：

这正是 Jordan–Wigner 变换不仅正确、而且有用的原因：对于最近邻项，非局域的弦在两个格点之间相互抵消，一个显然非局域的变换却产生了一个显然局域的哈密顿量。（对于 $|i-j|>1$ 的更长程跳跃项 $\hat S^+_i\hat S^-_j$，弦不会抵消——会残留一个 $\prod_{i<l<j}e^{i\pi\hat n_l}$。）

相互作用项

由恒等式 $\hat S^z_j = \hat n_j - \tfrac{1}{2}$ 立即得到：

无自旋费米子哈密顿量

展开第二项以读出标准格点模型参数：

因此，XXZ 链就是一条无自旋费米子链：跳跃振幅为 $J/2$，最近邻相互作用强度为 $J\Delta$。常数项 $J\Delta L/4$ 和化学势移动 $\mu$ 都是 $\hat S^z = \hat n - \tfrac12$ 中那个 $-\tfrac12$ 造成的产物——如果草率地改用泡利矩阵，消失的正是这两项。

边界上的注意事项。 对于自旋链的周期性边界条件，键 $L \to 1$ 上的弦并不会被抵消：$\hat P_L$ 环绕整个系统，留下一个全局宇称因子 $e^{i\pi \hat N}$。因此，费米子链是周期的还是反周期的，取决于总费米子数 $\hat N$ 是奇还是偶。开放边界条件下则没有这一微妙问题。

$U(1)$ 对称性与粒子数扇区

原始哈密顿量守恒总磁化：

因为跳跃项 $\hat S^+_j\hat S^-_{j+1}$ 升高一个自旋的同时降低另一个，使 $\sum_j S^z_j$ 保持不变。通过 $\hat S^z_{\text{tot}} = \hat N - L/2$，这变成了粒子数守恒：

与之相应的对称性是全局 $U(1)$ 相位转动：

在此变换下 $\hat H$ 的每一项（每个 $\hat c$ 配一个 $\hat c^\dagger$）都保持不变。它由 $\hat N$ 生成：$\hat U(\theta) = e^{i\theta \hat N}$。

推论。 $\hat H$ 在 $\hat N$ 的本征基下是块对角的。$2^L$ 维希尔伯特空间分解为粒子数固定的各个扇区：

并且每个本征态都可以标记为 $\lvert E, N\rangle$。在实践中这带来了巨大的节省：不必对角化一个 $2^L \times 2^L$ 的矩阵，而是分别对角化每个 $\binom{L}{N}\times\binom{L}{N}$ 的块。两种语言之间的对照表如下：

（此外还有一个离散的 $\mathbb{Z}_2$ 对称性，即自旋翻转 $\leftrightarrow$ 粒子–空穴变换 $\hat c_j \to \hat c^\dagger_j$，它把扇区 $N$ 映射到 $L-N$，并在半满填充时是 $\hat H$ 的对称性。）

小结

1. 升降算符形式： $\hat S^{\pm} = \hat S^x \pm i\hat S^y$ 把横向耦合变为 $\tfrac12(\hat S^+_j\hat S^-_{j+1} + \text{h.c.})$——一个跳跃项。
2. 单格点代数： $\{\hat S^+_i,\hat S^-_i\} = 1$ 和 $(\hat S^\pm_i)^2 = 0$ 已经是费米子式的；只有跨格点的关系（$[\hat S^+_i,\hat S^-_j] = 0$ 与 $\{\hat c^\dagger_i,\hat c_j\}=0$）不一致。
3. 态的映射： $\lvert\downarrow\rangle \to \lvert 0\rangle$，$\lvert\uparrow\rangle\to\lvert1\rangle$，从而 $\hat S^z_j = \hat n_j - \tfrac12$。
4. Jordan–Wigner 变换： 附加非局域弦 $\hat P_j = \prod_{l<j}(-2\hat S^z_l)$，它计数左侧的费米子宇称，恰好提供了局域映射无法产生的交换符号。
5. 结果： 相互作用的无自旋费米子，弦在最近邻键上相互抵消。
6. $U(1)$： 磁化守恒变为粒子数守恒，因此本征态由 $N$ 标记，且 $\hat H$ 块对角化。