贝特晶格上哈伯德模型的DMFT

强关联电子系统的动力学平均场理论(DMFT)基于将晶格模型映射到满足自洽条件的量子杂质模型A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg, Reviews of Modern Physics 68, 13-125 (1996)。在晶格配位数很大或空间维度趋于无穷的极限下，这一映射对于关联电子模型是精确的。贝特晶格是一个具有无穷空间维度的典型晶格实例，可以用ALPS中的DMFT进行模拟。

贝特晶格

下图展示了一个贝特晶格的示例，其中每个晶格格点的配位数为3。该晶格的有效维度为无穷大。因此，它为在此类晶格上实现DMFT提供了很好的机会，可以对DMFT方法进行基准测试和探索。 Bethe Lattice

哈伯德模型

我们将用DMFT模拟定义在贝特晶格上的哈伯德模型。该哈伯德模型的定义如下。

H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \left( c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma} + \text{h.c.} \right) + U \sum_i n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow},

其中

$c_{i,\sigma}^\dagger$ 和 $c_{i,\sigma}$ 分别是格点 $i$ 处自旋味 $\sigma$ （向上 $\uparrow$ 或向下 $\downarrow$ ）费米子的产生和湮灭算符， $\text{h.c.}$ 表示厄米共轭。
$t$ 是相邻格点 $\langle i,j \rangle$ 之间的跃迁振幅。
$U$ 是在位相互作用能， $U > 0$ 对应于排斥相互作用。
$n_{i,\sigma} = c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}$ 是格点 $i$ 处自旋味 $\sigma$ 费米子的数目算符。

参数

参数	含义	值
`SOLVER`	杂质求解器算法	`Interaction Expansion` (CT-INT QMC)
`U`	在位哈伯德排斥相互作用	`3`
`t`	跃迁振幅，针对贝特晶格重新标度	`0.707106781...` ( $=1/\sqrt{2}$ )
`BETA`	逆温度 $1/T$	`6` (高 $T$ ), `12` (低 $T$ )
`MU`	化学势（半填充）	`0`
`FLAVORS`	费米子味的数目（自旋向上/向下）	`2`
`SITES`	杂质格点数	`1`
`ANTIFERROMAGNET`	允许对称性破缺的反铁磁解	`1`
`H_INIT`	初始对称性破缺场，用于引发反铁磁态	`0.05`
`N`, `NMATSUBARA`	虚时间/松原频率点的数目	`500`
`SWEEPS`, `THERMALIZATION`	蒙特卡洛扫描次数与热化步数	`1e8`, `1000`
`MAX_IT`, `MAX_TIME`	DMFT自洽迭代次数，每次迭代的墙钟时间上限（秒）	`10`, `10`
`CONVERGED`	自洽收敛阈值	`0.005`

晶格

        o   o
         \ /
      o---o---o        每个格点有 z=3 个近邻，
         / \            以无回路的树状结构连接
        o   o            → 贝特晶格，配位数 z=3

之所以选用贝特晶格（一种无限的、无回路的树状结构），是因为它是在配位数趋于无穷的极限下使DMFT在数值上精确的最简单晶格——局域格林函数的自洽条件简化为pyalps.runDMFT内部所使用的简单半圆形态密度关系，其中跃迁 $t$ 按 $1/\sqrt{z}$ 重新标度（因此在无穷 $z$ 极限下有效配位对应t=1/sqrt(2)），从而使能带宽度保持有限。关于DMFT只是近似方法的有限维晶格，请参见ALPS晶格库。

方法选择

与ED/DMRG教程不同，这里的局域杂质问题是通过随机方法求解的：Interaction Expansion连续时间量子蒙特卡洛（CT-INT）求解器对 $U$ 的幂级数展开图进行采样，而不是对哈密顿量进行对角化，这正是能够实现真正无穷配位数贝特晶格（没有需要截断的有限维希尔伯特空间）的关键所在。MAX_TIME=10将每次DMFT迭代的QMC采样时间限制为10秒，而不论名义上的SWEEPS=1e8设置为多少，因此两个温度下完整的MAX_IT=10次自洽迭代循环都能在几分钟内完成。

模拟

我们首先导入所需的模块。

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

接下来，我们将输入文件准备为一个由Python字典组成的列表。

parms=[]
for b in [6., 12.]: 
    parms.append(
            {                         
              'ANTIFERROMAGNET'         : 1,
              'CONVERGED'               : 0.005,
              'FLAVORS'                 : 2,
              'H'                       : 0,
              'H_INIT'                  : 0.05,
              'MAX_IT'                  : 10,
              'MAX_TIME'                : 10,
              'MU'                      : 0,
              'N'                       : 500,
              'NMATSUBARA'              : 500, 
              'OMEGA_LOOP'              : 1,
              'SEED'                    : 0, 
              'SITES'                   : 1,
              'SOLVER'                  : 'Interaction Expansion',
              'SYMMETRIZATION'          : 0,
              'U'                       : 3,
              't'                       : 0.707106781186547,
              'SWEEPS'                  : 100000000,
              'THERMALIZATION'          : 1000,
              'ALPHA'                   : -0.01,
              'HISTOGRAM_MEASUREMENT'   : 1,
              'BETA'                    : b
            }
        )

参数"BETA"表示逆温度，我们将在两个不同的温度下对系统进行模拟：“BETA = 6"对应高温，“BETA = 12"对应低温。接下来我们写入输入文件并运行模拟。

for p in parms:
    input_file = pyalps.writeParameterFile('parm_beta_'+str(p['BETA']),p)
    res = pyalps.runDMFT(input_file)

接下来我们加载模拟的结果。

listobs=['0', '1']
    
data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(pattern='parm_beta_*h5'), respath='/simulation/results/G_tau', what=listobs)
for d in pyalps.flatten(data):
    d.x = d.x*d.props["BETA"]/float(d.props["N"])
    d.props['label'] = r'$\beta=$'+str(d.props['BETA'])+'; flavor='+str(d.props['observable'][len(d.props['observable'])-1])

最后，我们绘制单粒子格林函数 $G$ 随虚时间 $\tau$ 变化的图像并显示该图。

plt.figure()
plt.xlabel(r'$\tau$')
plt.ylabel(r'$G_{flavor}(\tau)$')
plt.title("Green's Function vs. the Imaginary Time")
pyalps.plot.plot(data)
plt.legend()
plt.show()

模拟得到的图像应如下所示： green fucntion gtau

该结果显示了贝特晶格上哈伯德模型的奈尔转变，系统在低温（“BETA = 12”）下的反铁磁态与高温（“BETA = 6”）下的顺磁态之间发生转变。

结果

运行上述代码后得到的虚时间区间两端的单粒子格林函数：

$\beta$	味	$G(\tau=0)$	$G(\tau=\beta/2)$
6	0 (↑)	-0.4868	-0.0759
6	1 (↓)	-0.5132	-0.0776
12	0 (↑)	-0.8932	-0.0039
12	1 (↓)	-0.1066	-0.0037

在 $\beta=6$ 时，两个自旋味几乎对称（ $-0.487$ 对比 $-0.513$ ）——这是顺磁解。在 $\beta=12$ 时，两个自旋味出现强烈分裂（ $-0.893$ 对比 $-0.107$ ）——反铁磁对称性破缺场H_INIT已发展为稳健的交错磁化，表明系统在冷却过程中已经进入反铁磁有序相。

总结与展望

贝特晶格上的DMFT显示，半填充哈伯德模型在高温（ $\beta=6$ ）下的顺磁解与低温（ $\beta=12$ ）下的磁有序（奈尔）解之间发生转变，这可以直接从两个自旋味格林函数的分裂中看出。

在6到12之间的哪个 $\beta$ 值处，两个自旋味之间的分裂首次变得显著——你能否界定奈尔转变温度的范围？
如果相互作用 $U$ 从3增大到6，转变温度会如何变化？
如果你另外通过maxent计算局域态密度，在顺磁相中你预期会看到什么？

自旋-1链能隙的外推量子比特的能谱