自旋-1/2链能隙的外推

在本教程中，我们将计算自旋-1/2链在多种晶格尺寸(32、64、96和128)下的能隙。我们将DMRG模拟中保留的态数固定为 $D=100$ ，这样可以得到足够精确的结果。我们将绘制能隙随晶格尺寸变化的关系图，并将其外推到热力学极限。

该哈密顿量是反铁磁海森堡交换模型，最早由W. Heisenberg, Zeitschrift für Physik 49, 619-636 (1928)提出:

H = J\sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}^i \cdot \mathbf{S}^j, \qquad J>0.

对于自旋-1/2链，已知在热力学极限下能隙以 $1/L$ 的形式趋于闭合，这正是下文所拟合的标度形式。

参数

参数	含义	取值
`LATTICE`	用于该链的晶格	`open chain lattice`
`MODEL`	哈密顿量所属的模型族	`spin`
`CONSERVED_QUANTUMNUMBERS`	基组中固定的量子数	`Sz`
`Sz_total`	总磁化强度所在的子空间	`0`
`J`	海森堡交换耦合	`1`
`SWEEPS`	DMRG扫描次数	`4`
`L`	链长	`32, 64, 96, 128`
`MAXSTATES`	保留的DMRG基态数目	`100`
`NUMBER_EIGENVALUES`	保留的低能本征态数目	`2`

晶格

   J     J     J             J
o-----o-----o-----o-- ... --o     （L = 32、64、96 或 128 个格点，开放边界条件）

与单一尺寸能隙教程中使用的open chain lattice相同，这里在四种长度下重复计算，以便将有限尺寸能隙外推到 $L\to\infty$ 。其他内置晶格请参见ALPS晶格库。

方法选择

在 $L=128$ 时，未截断的希尔伯特空间为 $2^{128}$ ，远超出精确对角化的能力范围；使用固定MAXSTATES=100的DMRG方法，可以使各个尺寸下的计算都保持可行，同时仍能足够精确地求解能隙，满足下文 $1/L$ 外推的需要。四种尺寸的计算合在一起运行时间远小于一分钟。

我们首先导入所需的库。

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot
import pyalps.fit_wrapper as fw

我们为多次运行准备具有不同晶格尺寸的输入文件。

parms= []
for lattice in [32, 64, 96, 128]:
    parms.append({
            'LATTICE'                   : "open chain lattice",
            'MODEL'                     : "spin",
            'CONSERVED_QUANTUMNUMBERS'  : 'Sz',
            'Sz_total'                  : 0,
            'J'                         : 1,
            'SWEEPS'                    : 4,
            'L'                         : lattice,
            'MAXSTATES'                 : 100,
            'NUMBER_EIGENVALUES'        : 2
        })

注意，我们已经设置了DMRG模拟中保留的最大态数。最低的两个本征值将被保留下来，用于计算能隙。

接下来我们写出输入文件并运行模拟。

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm_spin_one_half_gap_multiple',parms)
res = pyalps.runApplication('dmrg',input_file,writexml=True)

模拟完成后，我们加载所有晶格的全部测量结果，并按晶格尺寸对结果进行排序。

data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm_spin_one_half_gap_multiple'))

sorted_data = sorted(data, key=lambda x: x[0].props['L'])

我们为pyalps绘图函数创建一个数据集。每种晶格尺寸对应的能隙也被包含在该数据集中。

gapplot = pyalps.DataSet()
gapplot.props['xlabel']='$1/L$'
gapplot.props['ylabel']='Gap $\Delta/J$'
gapplot.props['label']='D=100'
gapplot.props['line']='.'

x = []
y = []
for measure in sorted_data:
    for s in measure:
        if s.props['observable'] == 'Energy':
            L = s.props['L']
            iL = 1.0/L
            gap = abs(s.y[1] - s.y[0])
            s.props['gap'] = gap
            x.append(iL)
            y.append(gap)

gapplot.x = x
gapplot.y = y

我们绘制能隙随 $1/L$ 变化的关系图，并用线性曲线对其进行拟合。拟合曲线也绘制在同一张图中。

# 绘制能隙关于 1/L 的曲线：
plt.figure()
pyalps.plot.plot(gapplot)
plt.legend()
plt.xlim(0,0.04)
plt.ylim(0,0.2)

# 用线性函数拟合曲线
pars = [fw.Parameter(0.1), fw.Parameter(0.2)]
f = lambda self, x, p: p[0]()+p[1]()*x
fw.fit(None, f, pars, np.array(gapplot.y), np.array(gapplot.x))

# 绘制拟合曲线
x = np.linspace(0.0, 0.035, 100)
plt.plot(x, f(None,x,pars))

print("Gap at thermodynamic limit: ", pars[0]())

plt.show()

最终的能隙图应如下所示: Energy Gap of a Spin-1/2 Chain

结果

运行上述代码可得到:

$L$	$1/L$	Gap $\Delta/J$
32	0.03125	0.11774
64	0.01563	0.06176
96	0.01042	0.04205
128	0.00781	0.03194

在 $1/L$ 下进行的线性拟合外推到 $L\to\infty$ 时给出 $\Delta/J\approx0.0040$ ——在拟合的有限尺寸系统误差范围内与零一致，这证实了自旋-1/2海森堡链是无能隙的。

总结与展望

通过DMRG计算得到的自旋-1/2海森堡链能隙随 $1/L$ 近似线性缩小，并外推至基本为零，证实该链在热力学极限下是无能隙的——这与自旋-1链所具有的有限哈尔丹能隙形成了直接对比。

在 $1/L$ 下进行严格的线性拟合是否是此处的最佳选择，还是包含对数修正的形式(如场论对自旋-1/2链所预测的那样)能拟合得更好？
如果加入更大的晶格尺寸，例如 $L=160,192$ ，外推得到的能隙会如何变化？
将这一外推结果与自旋-1的情形进行比较：为什么后者外推得到的是有限能隙而不是零？

自旋-1/2链的能隙自旋-1链的能隙