横场量子伊辛模型

引言

在本教程中，我们将研究临界自旋链，并建立它们与共形场论描述之间的联系。

我们所考虑的模型是临界伊辛链，其哈密顿量为

H=J_{z} \sum_{\langle i,j \rangle} S^i_z S^j_z + \Gamma \sum_i S^i_x

这里，第一个求和遍历所有最近邻格点对。 $\Gamma$ 被称为横场；当 $\Gamma/J=\frac{1}{2}$ 时系统达到临界点。当 $\Gamma=0$ 时，对于 $J\gt 0$ 基态是反铁磁的，对于 $J \lt 0$ 基态是铁磁的。该系统是可以精确求解的（P. Pfeuty, Annals of Physics 57, 79-90 (1970)）。

在上式中， $\Delta$ 指的是该场的标度维度。标度场以若干个组的形式出现：其中最低的一个被称为初级场，它伴随着无穷多个标度维度为 $\Delta + m$ （ $m \in \lbrace 1, 2, 3, ... \rbrace$ ）的后代场。

在伊辛模型的精确解中（Pfeuty 的论文中的公式 (3.7)），长程关联函数被发现按如下方式衰减：

\langle S^i_z S^{i+n}_z \rangle \sim n^{-2\times 1/8}

\langle S^i_y S^{i+n}_y \rangle \sim n^{-2\times(1+1/8)}

\langle S^i_x S^{i+n}_x \rangle \sim n^{-2\times 1}

此外，我们预期恒等算符的标度维度为 0。

因此，我们预期在伊辛模型的共形场论中会出现标度维度 0、1/8、1、1+1/8。为了验证这一点，我们将根据 $E \rightarrow \frac{E-E_0}{(E_1-E_0)8}$ 对能谱中的所有能量进行重新标度。这将强制最低的两个态出现在我们预期的标度维度处；随后我们可以检验能谱的其余部分是否与此一致。

参数

参数	含义	值
`LATTICE`	用于该链的晶格	`chain lattice`
`MODEL`	哈密顿量族	`spin`
`local_S`	每个格点的自旋量子数	`0.5`
`Jxy`	面内（ $S_xS_x+S_yS_y$ ）耦合，此处未使用	`0`
`Jz`	伊辛（ $S_zS_z$ ）耦合 $J_z$	`-1`
`Gamma`	横场 $\Gamma$	`0.5`
`NUMBER_EIGENVALUES`	保留的低能本征态数目	`5`
`L`	链长	`10, 12`

当 Jz=-1 且 Gamma=0.5 时， $\Gamma/J=0.5$ ，这正是该模型的临界点。

晶格

chain lattice 是一个由 L 个格点组成的一维周期性环，伊辛耦合 $J_z$ 作用在键上，横场 $\Gamma$ 作用在每个格点上：

 Γ       Γ       Γ             Γ
 o--Jz---o--Jz---o--- ... ---o
 |                            |
 +------------ Jz ------------+
        （周期性环，L 个格点）

该环自身闭合：从最后一个格点连回第一个格点的键正是使晶格具有周期性的原因。在这里选择周期性边界条件有两个原因。周期性边界条件保持了平移对称性，因此每个本征态都携带一个明确定义的晶格动量——这正是下文中能谱所对应的 TOTAL_MOMENTUM 量子数。此外，周期性边界没有开放的末端，因此不存在会污染体相共形能谱的边缘态，并且共形场论标度维度的有限尺寸修正也比在开放链上衰减得更快。如果你想使用开放边界条件，ALPS 提供了 open chain lattice；关于内置晶格的完整列表，请参见 ALPS 晶格库。

方法选择

自旋-1/2 链的完整希尔伯特空间维度为 $2^L$ ——对于 $L=10$ 为 $2^{10}=1024$ ，对于 $L=12$ 为 $2^{12}=4096$ 。由于我们只需要最低的几个本征态（而非完整能谱），sparsediag 所实现的迭代兰索斯算法是自然的选择：与完全对角化相比，它能以少得多的矩阵-向量乘法次数收敛到最低的本征值，而本例中的两个希尔伯特空间维度都远在其处理能力之内（每个系统尺寸的运行时间远小于一秒）。

模拟

我们首先导入一些模块：

import pyalps
import pyalps.plot
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import copy
import math

接下来，让我们为两个系统尺寸设置参数。请注意使用横场 $\Gamma$ ，而不是纵向场 $h$ 。

# 不同晶格尺寸下的一些通用参数：
parms = []
for L in [10,12]:
    parms.append({
        'LATTICE'    : "chain lattice",
        'MODEL'      : "spin",
        'local_S'    : 0.5,
        'Jxy'        : 0,
        'Jz'         : -1,
        'Gamma'      : 0.5,
        'NUMBER_EIGENVALUES' : 5,
        'L'          : L
    })

如你所见，我们将模拟两个系统尺寸。现在让我们设置输入文件并运行模拟：

prefix = 'ising'
input_file = pyalps.writeInputFiles(prefix,parms)
res = pyalps.runApplication('sparsediag', input_file)
# res = pyalps.runApplication('sparsediag', input_file, MPI=2, mpirun='mpirun')
data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix=prefix))

为了进行共形场论标度维度的指认，我们需要计算每个 L 对应的基态和第一激发态。上述加载操作的输出将是一个按 L 排序的分层列表，因此我们只需遍历它即可

E0 = {}
E1 = {}
for Lsets in data:
    L = pyalps.flatten(Lsets)[0].props['L']
    # 把所有能量值汇总成一个大列表
    allE = []
    for q in pyalps.flatten(Lsets):
        allE += list(q.y)
    allE = np.sort(allE)
    E0[L] = allE[0]
    E1[L] = allE[1]

减去 E0，除以能隙，再乘以 1/8——我们知道这是伊辛共形场论中最小的非零标度维度

for q in pyalps.flatten(data):
    L = q.props['L']
    q.y = (q.y-E0[L])/(E1[L]-E0[L]) * (1./8.)

spectrum = pyalps.collectXY(data, 'TOTAL_MOMENTUM', 'Energy', foreach=['L'])

绘制前几个已知的精确标度维度

for SD in [0.125, 1, 1+0.125, 2]:
    d = pyalps.DataSet()
    d.x = np.array([0,4])
    d.y = SD+0*d.x
    # d.props['label'] = str(SD)
    spectrum += [d]

pyalps.plot.plot(spectrum)

plt.legend(prop={'size':8})
plt.xlabel("$k$")
plt.ylabel("$E_0$")

plt.xlim(-0.02, math.pi+0.02)

plt.show()

模拟结果如图所示： Energy scaling for quantum ising model.

结果

在临界点（ $J_z=-1$ ， $\Gamma=0.5$ ）运行上述代码，得到原始的基态和第一激发态能量：

$L$	$E_0$	$E_1$	$E_1-E_0$
10	-3.19623	-3.15688	0.03935
12	-3.83065	-3.79788	0.03277

经过重新标度 $E \rightarrow (E-E_0)/[(E_1-E_0)\times 8]$ 后，这两个态按构造映射到标度维度 $0$ 和 $1/8$ ；图中展示了其余低能能谱是否落在预期值 $1$ 和 $1+1/8$ 附近。

总结与展望

有限尺寸临界伊辛链的重标度激发能谱重现了 $c=1/2$ 共形场论所预言的标度维度 $0,\ 1/8,\ 1,\ 1+1/8$ ，证实了该晶格模型低能扇区与场论识别的一致性。

当 $L$ 增大到超过 12 时，与共形场论预言的符合程度会如何变化？
当偏离临界点（ $\Gamma/J \neq 0.5$ ）时，能谱会如何变化？
你能否确定 $1+1/8$ 之上下一组后代场的标度维度？

自旋-1 海森堡链的自旋能隙