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量子比特的能谱

量子比特的能谱

在本教程中,我们将探索如何搭建任意的晶格配置来放置量子比特,并为量子比特之间指定各种相互作用,以模拟量子比特的操作。我们得到的能谱结果可以作为量子计算理论/实验中初始量子比特配置的基准。

混合 4 位点量子比特

简介

我们首先使用晶格配置文件 lattices.xml 中的 4 位点混合图:

<GRAPH name="4-site mixed" vertices="4"> 
  <VERTEX id="1" type="0"/>
  <VERTEX id="2" type="1"/>
  <VERTEX id="3" type="0"/>
  <VERTEX id="4" type="1"/>
  <EDGE type="0" source="1" target="2"/>
  <EDGE type="0" source="2" target="3"/>
  <EDGE type="0" source="3" target="4"/>
  <EDGE type="0" source="4" target="1"/>
  <EDGE type="1" source="1" target="3"/>
  <EDGE type="1" source="2" target="4"/>
</GRAPH>

该晶格配置如下图所示: mixed-4-site configuration

同一个图,在每条键上标注了哈密顿量的耦合强度,并在每个位点上标注了横场 Γ\Gamma:

Γ   1 ---J1--- 2   Γ
    |  \     / |
    J1  J2 J2  J1
    |  /     \ |
Γ   4 ---J1--- 3   Γ

在这个晶格配置中有两种类型的顶点,位点 1 和 3 被标记为 “0”,位点 2 和 4 被标记为 “1”。每个量子比特位点都受到强度为 Gamma 的横向磁场作用。此外还有两种类型的键,位点 (1,2)、(2,3)、(3,4) 和 (4,1) 之间的键被标记为 “0”,位点 (1,3) 和 (2,4) 之间的键被标记为 “1”。对于键类型 “0”,我们为类型 “0” 的键指定相互作用 J1,为类型 “1” 的键指定相互作用 J2。以上所有设置都在模型配置文件 models.xml 中完成:

<HAMILTONIAN name="qbit operation">
  <PARAMETER name="J1" default="1"/>
  <PARAMETER name="J2" default="0.5"/>
  <BASIS ref="spin"/>
  <SITETERM site="i">
    -Gamma*Sx(i)
  </SITETERM>
  <BONDTERM source="1" target="2">
    J1*Sz(1)*Sz(2)
  </BONDTERM>
  <BONDTERM source="2" target="3">
    J1*Sz(2)*Sz(3)
  </BONDTERM>
  <BONDTERM source="3" target="4">
    J1*Sz(3)*Sz(4)
  </BONDTERM>
  <BONDTERM source="4" target="1">
    J1*Sz(4)*Sz(1)
  </BONDTERM>
  <BONDTERM source="1" target="3">
    J2*Sz(1)*Sz(3)
  </BONDTERM>
  <BONDTERM source="2" target="4">
    J2*Sz(2)*Sz(4)
  </BONDTERM>
</HAMILTONIAN>

经过以上设置,4 位点量子比特的哈密顿量由下式给出

H=J1∑type0SziSzj+J2∑type1SziSzj−Γ∑iSxi. H=J_{1} \sum_{type 0} S^i_z S^j_z + J_{2} \sum_{type 1} S^i_z S^j_z - \Gamma \sum_i S^i_x.

这是一个用于教学目的的小型模型(并非对应某个已发表的具体量子比特器件),在此用来演示如何从零开始在 ALPS 中定义自定义的晶格图与哈密顿量,而不是使用内置的晶格/模型。

参数

参数含义取值
GRAPH自定义晶格图(定义见上文)4-site mixed
MODEL自定义哈密顿量(定义见上文)qbit operation
local_S每个位点的自旋量子数0.5
Gamma横场强度 Γ\Gamma0.5
J1类型 “0” 键耦合(正方形边)1(模型默认值)
J2类型 “1” 键耦合(对角边)0.0 到 1.6,步长 0.2
NUMBER_EIGENVALUES保留的低能本征态数目5

方法选择

由于只有 4 个位点,希尔伯特空间维度为 24=162^4=16,任何对角化方法都能瞬间完成计算;这里使用 sparsediag 的兰索斯算法纯粹是为了与其他精确对角化教程保持一致,并展示可推广到更大系统的自定义晶格/自定义模型工作流程。

模拟

我们首先导入一些模块:

import pyalps
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

然后我们为系统设置参数,并对第二个耦合常数 J2 进行循环。

parms = []
# 遍历第二个耦合常数
for J2 in [0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6]:
    parms.append({
        'GRAPH'      : "4-site mixed",
        'MODEL'      : "qbit operation",
        'local_S'    : 0.5,
        'Gamma'      : 0.5,
        'J2'         : J2,
        'NUMBER_EIGENVALUES' : 5
    })

现在我们设置输入文件并运行模拟。

prefix = 'qbitenergy'
input_file = pyalps.writeInputFiles(prefix,parms)
res = pyalps.runApplication('sparsediag', input_file)
data = pyalps.loadEigenstateMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix=prefix))

接下来我们遍历参数 J2,并绘制每个 J2 对应的最低能级。

x = []
E0 = []
for Lsets in data:
    J2 = pyalps.flatten(Lsets)[0].props['J2']
    x.append(J2)
    lowestE = pyalps.flatten(Lsets)[0].y[0]
    E0.append(lowestE)
    
# 设置散点图标签
lbl="J1=1.0, Gamma=0.5"
plt.scatter(x,E0, label=lbl)
plt.legend()
plt.xlabel("J2")
plt.ylabel("E")
plt.title("4-site Mixed Graph")
plt.show()

不同耦合常数 J2 下最低能量的能谱结果如下图所示: Lowest energies vs. J2

结果

基态能量 E0E_0 随 J2J_2 变化的关系,取自上述代码在 J1=1J_1=1、Γ=0.5\Gamma=0.5 下的运行结果:

J2J_2E0E_0
0.0-1.00000
0.2-1.01245
0.4-1.04246
0.6-1.08341
0.8-1.13192
1.0-1.18614
1.2-1.24496
1.4-1.30764
1.6-1.37365

在 J2=0J_2=0 时(只有正方形边的键起作用),E0=−1E_0=-1 精确成立,这与带有弱横场的孤立 4 位点环一致。随着 J2J_2 增大,对角键带来了更多的反铁磁阻挫,基态能量单调下降。

总结与展望

对这个自定义的 4 位点混合图哈密顿量进行对角化表明,随着对角耦合 J2J_2 的增强,基态能量平滑且单调地下降,在此参数范围内没有出现能级交叉的迹象。

  1. 随着 J2J_2 增大,基态与第一激发态之间的能隙会发生什么变化——它在某处会闭合吗?
  2. 你会如何扩展这里的 lattices.xml/models.xml 组合,以模拟同一混合图的 8 位点版本?
  3. 在 J2→0J_2 \to 0 和 J2=J1J_2 = J_1 这两个极限下,基态能量分别是多少?你能仅从键的结构来解释这一点吗?
贝特晶格上哈伯德模型的DMFT