MC-03 磁化强度

本教程研究两种几何构型上 $S = 1/2$ 海森堡模型的磁化曲线 $m(h)$ ：一维链和两腿梯子。由于 looper 量子蒙特卡洛程序在磁场中表现不佳，我们改用有向圈随机级数展开程序 dirloop_sse。

这两种几何构型给出定性上不同的磁化曲线。海森堡链是无能隙的：只要一加上磁场，它的磁化强度就从 $m = 0$ 平滑上升。两腿梯子具有自旋能隙 $\Delta \approx 0.5J$ ：当 $h < \Delta$ 时磁化强度严格为零，只有到达某个有限的临界场之后才开始上升，从而在 $m = 0$ 处形成一个明显的平台。

一维海森堡链

我们模拟 20 个格点的 $S = 1/2$ 反铁磁海森堡链，温度为 $T = 0.08$ ，磁场取遍 $h = 0, 0.1, \ldots, 2.5$ 。温度足够低，因此结果接近基态的磁化曲线。

在命令行下设置并运行

参数文件 parm3a：

LATTICE="chain lattice"
MODEL="spin"
local_S=1/2
L=20
J=1
T=0.08
THERMALIZATION=2000
SWEEPS=10000
{h=0;}
{h=0.1;}
{h=0.2;}
{h=0.3;}
{h=0.4;}
{h=0.5;}
{h=0.6;}
{h=0.7;}
{h=0.8;}
{h=0.9;}
{h=1.0;}
{h=1.2;}
{h=1.4;}
{h=1.6;}
{h=1.8;}
{h=2.0;}
{h=2.2;}
{h=2.4;}
{h=2.5;}

使用随机级数展开程序转换并运行：

parameter2xml parm3a
dirloop_sse --Tmin 10 --write-xml parm3a.in.xml

在 Python 中设置并运行

脚本 tutorial3a.py：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

parms = []
for h in [0., 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.5]:
    parms.append(
        {
            'LATTICE'        : "chain lattice",
            'MODEL'          : "spin",
            'local_S'        : 0.5,
            'T'              : 0.08,
            'J'              : 1,
            'THERMALIZATION' : 1000,
            'SWEEPS'         : 20000,
            'L'              : 20,
            'h'              : h
        }
    )

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm3a', parms)
pyalps.runApplication('dirloop_sse', input_file, Tmin=5)

计算与作图

载入磁化强度密度，并把它作为磁场的函数画出来：

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm3a'), 'Magnetization Density')
magnetization = pyalps.collectXY(data, x='h', y='Magnetization Density')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(magnetization)
plt.xlabel('Field $h/J$')
plt.ylabel('Magnetization $m$')
plt.ylim(0.0, 0.55)
plt.title('Quantum Heisenberg chain')
plt.show()

磁化强度从零开始连续上升，并在饱和场 $h_\text{sat} = 2J$ 处达到饱和值 $m = 1/2$ 。

一维海森堡梯子

两腿梯子增加了连接两条链的横档耦合 $J_1$ 。我们使用 20 个横档（共 40 个格点），并把磁场范围延伸到 $h = 3.5$ 以便达到饱和。

在命令行下设置并运行

参数文件 parm3b 与 parm3a 结构相同，改动如下：

LATTICE="ladder"
MODEL="spin"
local_S=1/2
L=20
J0=1
J1=1
T=0.08
THERMALIZATION=2000
SWEEPS=10000
{h=0;}
{h=0.2;}
{h=0.4;}
{h=0.6;}
{h=0.8;}
{h=1.0;}
{h=1.2;}
{h=1.4;}
{h=1.6;}
{h=1.8;}
{h=2.0;}
{h=2.2;}
{h=2.4;}
{h=2.6;}
{h=2.8;}
{h=3.0;}
{h=3.2;}
{h=3.4;}
{h=3.5;}

parameter2xml parm3b
dirloop_sse --Tmin 10 --write-xml parm3b.in.xml

在 Python 中设置并运行

脚本 tutorial3b.py 是对 tutorial3a.py 的改写：把前缀改为 parm3b，把 LATTICE 改为 "ladder"，把 J 换成 J0=J1=1，并把磁场扫描范围延伸到 3.5。

计算与作图

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm3b'), 'Magnetization Density')
magnetization = pyalps.collectXY(data, x='h', y='Magnetization Density')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(magnetization)
plt.xlabel('Field $h/J$')
plt.ylabel('Magnetization $m$')
plt.ylim(0.0, 0.55)
plt.title('Quantum Heisenberg ladder')
plt.show()

与链不同，梯子的磁化强度在达到某个有限的下临界场 $h_{c1} \approx \Delta \approx 0.5J$ 之前始终为零，这正反映了自旋能隙的存在；此后磁化强度上升，直到在 $h_{c2}$ 处达到饱和。

汇总两次模拟

在同一个目录下运行完两次模拟之后，脚本 tutorial3full.py 会把两条磁化曲线叠加在同一张图上：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(), 'Magnetization Density')
magnetization = pyalps.collectXY(data, x='h', y='Magnetization Density', foreach=['LATTICE'])

for m in magnetization:
    if m.props['LATTICE'] == 'chain lattice':
        m.props['label'] = 'chain'
    elif m.props['LATTICE'] == 'ladder':
        m.props['label'] = 'ladder'

plt.figure()
pyalps.plot.plot(magnetization)
plt.xlabel('Field $h/J$')
plt.ylabel('Magnetization $m$')
plt.ylim(0.0, 0.55)
plt.legend()
plt.title('Quantum Heisenberg models')
plt.show()

把两者画在一起，无能隙的链与有能隙的梯子之间的对比便一目了然。

思考题

链的磁化强度从哪个磁场开始上升？这告诉你关于链的自旋能隙的什么信息？
根据你的数据估计梯子的下临界场 $h_{c1}$ 。它与已知的自旋能隙 $\Delta \approx 0.5J$ 相比如何？
两个模型都在 $m = 1/2$ 处饱和。各自在什么磁场下达到饱和？为什么饱和场不同？
在更高的温度下重复模拟，例如 $T = 0.5$ 。热涨落如何影响磁化曲线中各种特征的尖锐程度？
（附加）通过添加表示宽度的 W 参数试试三腿或四腿梯子，或者改变 local_S 来研究自旋-1 或自旋-3/2 的链。临界场是否呈现出系统性的规律？

MC-02 磁化率 MC-04 测量