MC-04 测量

除了能量、磁化强度这类热力学平均值之外，量子蒙特卡洛模拟还可以测量空间关联函数及其傅里叶变换。本教程在小正方格子上，用有向圈随机级数展开程序对 $S = 1/2$ 海森堡模型演示这些测量。

自旋-自旋关联函数 $C(\mathbf{r}) = \langle S^z_0 S^z_\mathbf{r} \rangle$ 描述了相距 $\mathbf{r}$ 的两个格点上自旋取向之间的关联。对于低温下的反铁磁海森堡模型，关联随距离交替变号，反映了系统趋向奈尔序的倾向。结构因子 $S(\mathbf{q}) = \sum_\mathbf{r} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} C(\mathbf{r})$ 是关联函数的傅里叶变换；它在反铁磁波矢 $\mathbf{q} = (\pi, \pi)$ 处出现峰值。

二维海森堡正方格子

我们在 $4 \times 4$ 正方格子上模拟 $S = 1/2$ 海森堡模型，温度取 $T = 0.3$ ，并加上一个小磁场 $h = 0.1$ 以弱破缺自旋旋转对称性。较小的系统尺寸使模拟运行得很快；不过在这个尺度上，有限尺寸效应是显著的。

命令行

参数文件 parm4 在标准参数之外，还开启了三个额外的测量开关：

MODEL="spin"
LATTICE="square lattice"
local_S=1/2
MEASURE[Correlations]=true
MEASURE[Structure Factor]=true
MEASURE[Green Function]=true
THERMALIZATION=10000
SWEEPS=500000
J=1
L=4
W=4
T=0.3
{h=0.1;}

MEASURE[Correlations] 记录所有格点对的 $\langle S^z_i S^z_j \rangle$ 。 MEASURE[Structure Factor] 记录所有与该晶格相容的波矢处的 $S(\mathbf{q})$ 。 MEASURE[Green Function] 记录虚时（单格点）格林函数 $G(\tau) = \langle S^z_i(\tau)\,S^z_i(0)\rangle$ ，它在长 $\tau$ 下按 $G(\tau)\sim e^{-\Delta\tau}$ 衰减，并且可以通过解析延拓获得谱信息。

转换并运行：

parameter2xml parm4
dirloop_sse --Tmin 10 --write-xml parm4.in.xml

--Tmin 10 把检查点间隔设为 10 秒；--write-xml 会写出 XML 输出文件，pyalps 可以把它与 HDF5 结果一起读取。

Python

脚本 tutorial4.py：

import pyalps

parms = [{
    'LATTICE'                   : "square lattice",
    'MODEL'                     : "spin",
    'MEASURE[Correlations]'     : True,
    'MEASURE[Structure Factor]' : True,
    'MEASURE[Green Function]'   : True,
    'local_S'                   : 0.5,
    'T'                         : 0.3,
    'J'                         : 1,
    'THERMALIZATION'            : 10000,
    'SWEEPS'                    : 500000,
    'L'                         : 4,
    'W'                         : 4,
    'h'                         : 0.1
}]

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm4', parms)
pyalps.runApplication('dirloop_sse', input_file, Tmin=10)

计算结果的读取

从输出文件中载入全部测量结果并打印出来：

import pyalps

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm4'))

for s in pyalps.flatten(data):
    if len(s.x) == 1:
        print(s.props['observable'], ':', s.y[0])
    else:
        for (x, y) in zip(s.x, s.y):
            print(s.props['observable'], x, ':', y)

标量可观测量（能量、磁化强度、磁化率）打印在一行里。矢量可观测量（关联函数、结构因子、格林函数）则每个条目占一行，并在数值旁边给出其指标——格点对、波矢或虚时格点。

绘制自旋-自旋关联

要把关联函数可视化，载入 Sz Correlations 可观测量并作图：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm4'), 'Sz Correlations')
correlations = pyalps.collectXY(data, x='d', y='Sz Correlations')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(correlations)
plt.xlabel('Distance $r$')
plt.ylabel('$\\langle S^z_0 S^z_r \\rangle$')
plt.title('Spin correlations, $4\\times 4$ Heisenberg model')
plt.show()

关联应当随距离交替变号，其中最近邻的值为负（反铁磁），并且其大小随 $r$ 减小。

绘制结构因子

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm4'), 'Sz Structure Factor')
structure_factor = pyalps.collectXY(data, x='q', y='Sz Structure Factor')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(structure_factor)
plt.xlabel('Wavevector $q$')
plt.ylabel('$S^z(q)$')
plt.title('Structure factor, $4\\times 4$ Heisenberg model')
plt.show()

最大值应当出现在反铁磁波矢 $\mathbf{q} = (\pi, \pi)$ 处，它对应于奈尔序中交替排列的自旋图样。

思考题

结构因子在哪个波矢处最大？这对应于怎样的自旋关联图样？
关联 $\langle S^z_0 S^z_r \rangle$ 如何随距离 $r$ 衰减？在整个 $4 \times 4$ 格子范围内它们是否都还显著？
在更低的温度下重复模拟，例如 $T = 0.1$ 。关联函数和结构因子会如何变化？
把系统尺寸增大到 $L = 8$ 。结构因子的峰值如何随 $L$ 标度？这告诉你在有限温度下是否存在长程序？
格林函数 $G(\tau)$ 的物理含义是什么？如何利用它来获得系统的动力学信息？

MC-03 磁化强度 MC-05 玻色子