MC-05 玻色子

玻色-哈伯德模型描述晶格上相互作用的玻色子：

H = -t \sum_{\langle i,j \rangle} (a_i^\dagger a_j + \text{h.c.}) + \frac{U}{2} \sum_i n_i(n_i-1) - \mu \sum_i n_i,

其中 $t$ 是跃迁振幅， $U$ 是在位排斥， $\mu$ 是化学势。在整数填充且 $U/t$ 很大时，系统是莫特绝缘体：玻色子被相互作用局域化，超流密度 $\rho_s = 0$ 。随着 $t/U$ 增大，量子涨落最终会驱动系统转变为 $\rho_s > 0$ 的超流相。本教程使用 ALPS 的蠕虫量子蒙特卡洛程序，在二维正方格子上、填充数 $\langle n \rangle = 1$ （由 $\mu = U/2 = 0.5$ 设定）的条件下确定这一量子相变。

跨越相变的超流密度

我们首先在 $4 \times 4$ 格子上扫描一个较大的跃迁参数范围，观察超流密度 $\rho_s$ （在 ALPS 中称为 “Stiffness”）如何随相变演化。希尔伯特空间在每个格点上截断到 Nmax=2 个玻色子，这在单位填充的莫特叶附近是一个很好的近似。

命令行

参数文件 parm5a：

LATTICE="square lattice"
L=4
MODEL="boson Hubbard"
NONLOCAL=0
U=1.0
mu=0.5
Nmax=2
T=0.1
SWEEPS=500000
THERMALIZATION=10000
{t=0.01;}
{t=0.02;}
{t=0.03;}
{t=0.04;}
{t=0.05;}
{t=0.06;}
{t=0.07;}
{t=0.08;}
{t=0.09;}
{t=0.1;}

NONLOCAL=0 关闭非局域测量，使输出保持简洁。

parameter2xml parm5a
worm --Tmin 10 --write-xml parm5a.in.xml

--Tmin 10 把检查点间隔设为 10 秒；--write-xml 会写出 XML 输出文件，pyalps 可以把它与 HDF5 结果一起读取。

Python

脚本 tutorial5a.py：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

parms = []
for t in [0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.1]:
    parms.append(
        {
            'LATTICE'        : "square lattice",
            'L'              : 4,
            'MODEL'          : "boson Hubbard",
            'NONLOCAL'       : 0,
            'U'              : 1.0,
            'mu'             : 0.5,
            'Nmax'           : 2,
            'T'              : 0.1,
            'SWEEPS'         : 500000,
            'THERMALIZATION' : 10000,
            't'              : t
        }
    )

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm5a', parms)
pyalps.runApplication('worm', input_file, Tmin=10)

计算与作图

载入超流刚度，并把它作为跃迁参数的函数画出来：

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm5a'), 'Stiffness')
rhos = pyalps.collectXY(data, x='t', y='Stiffness')

plt.figure()
pyalps.plot.plot(rhos)
plt.xlabel('Hopping $t/U$')
plt.ylabel('Superfluid density $\\rho_s$')
plt.title('Bose-Hubbard model on a $4\\times 4$ lattice')
plt.show()

在小 $t/U$ 下 $\rho_s$ 应当很小（与零一致），而在大 $t/U$ 下增长到有限值，并在临界跃迁值 $(t/U)_c \approx 0.060$ 附近出现渡越。

定位临界点

为了更精确地确定 $(t/U)_c$ ，我们利用有限尺寸标度。在量子临界点处， $\rho_s \sim L^{-(d+z-2)}$ ，其中 $d=2$ 是维数， $z=1$ 是该普适类（三维 XY）的动力学指数。对于 $d=2$ 、 $z=1$ ，这给出 $\rho_s \sim L^{-1}$ ，因此组合量 $\rho_s L$ 在临界点处是无量纲的，不同 $L$ 的曲线会在 $t_c$ 处相交。

我们在预期临界点附近的细密跃迁参数网格上，模拟三种系统尺寸 $L = 4, 6, 8$ 。

命令行

参数文件 parm5b：

LATTICE="square lattice"
MODEL="boson Hubbard"
NONLOCAL=0
U=1.0
mu=0.5
Nmax=2
T=0.05
SWEEPS=600000
THERMALIZATION=150000
{L=4; t=0.045;}
{L=4; t=0.05;}
{L=4; t=0.0525;}
{L=4; t=0.055;}
{L=4; t=0.0575;}
{L=4; t=0.06;}
{L=4; t=0.065;}
{L=6; t=0.045;}
{L=6; t=0.05;}
{L=6; t=0.0525;}
{L=6; t=0.055;}
{L=6; t=0.0575;}
{L=6; t=0.06;}
{L=6; t=0.065;}
{L=8; t=0.045;}
{L=8; t=0.05;}
{L=8; t=0.0525;}
{L=8; t=0.055;}
{L=8; t=0.0575;}
{L=8; t=0.06;}
{L=8; t=0.065;}

与 parm5a 相比，这里需要更低的温度（ $T = 0.05$ ）和更长的运行时间，才能清晰地分辨出交点。

parameter2xml parm5b
worm --Tmin 10 --write-xml parm5b.in.xml

Python

脚本 tutorial5b.py：

import pyalps
import matplotlib.pyplot as plt
import pyalps.plot

parms = []
for L in [4, 6, 8]:
    for t in [0.045, 0.05, 0.0525, 0.055, 0.0575, 0.06, 0.065]:
        parms.append(
            {
                'LATTICE'        : "square lattice",
                'L'              : L,
                'MODEL'          : "boson Hubbard",
                'NONLOCAL'       : 0,
                'U'              : 1.0,
                'mu'             : 0.5,
                'Nmax'           : 2,
                'T'              : 0.05,
                'SWEEPS'         : 600000,
                'THERMALIZATION' : 150000,
                't'              : t
            }
        )

input_file = pyalps.writeInputFiles('parm5b', parms)
pyalps.runApplication('worm', input_file, Tmin=10)

计算与作图

载入每个系统尺寸的刚度，乘以 $L$ 之后作图：

data = pyalps.loadMeasurements(pyalps.getResultFiles(prefix='parm5b'), 'Stiffness')
rhos = pyalps.collectXY(data, x='t', y='Stiffness', foreach=['L'])

for s in rhos:
    s.y = s.y * float(s.props['L'])

plt.figure()
pyalps.plot.plot(rhos)
plt.xlabel('Hopping $t/U$')
plt.ylabel('$\\rho_s L$')
plt.legend()
plt.title('Finite-size scaling: Bose-Hubbard model')
plt.show()

$L = 4, 6, 8$ 的曲线应当在 $(t/U)_c$ 附近相交。二维玻色-哈伯德模型在单位填充下的精确结果是 $(t/U)_c = 0.05974\ldots$

思考题

在粗扫描中， $\rho_s$ 从哪个跃迁值开始明显不为零？这与 $\rho_s L$ 图中的交点一致吗？
$\rho_s L$ 曲线在哪里相交？你的估计值与精确值 $(t/U)_c = 0.05974$ 相比如何？
有限温度的模拟会系统性地高估 $(t/U)_c$ 。这是为什么？如果把 $T$ 进一步降低，交点会如何变化？
试着把 Nmax 增大到 3。结果变化有多大？在什么样的填充或相互作用强度下，Nmax=2 会变成一个很差的近似？
（附加）用更大的系统尺寸重复有限尺寸标度分析。交点的质量会如何改善？

MC-04 测量 MC-06 量子王-朗道